(7.3.4)
当 S 12时，有 Xt at 1at1 12at12 112at13 (7.3.5)
（7.3.5）式是一个 MA(13)模型，其自相关系数计算为
0
(1 12
2 12
12122
)
2 a
(1
12
)(1
2 12
)
2 a
1
1 112
(1
12
)(1
2 12
)
1 1 12
2 L 10 0
二、季节性 AR 模型的偏自相关函数
将季节性 AR(1)模型(11B)(1S BS ) Xt at
(7.3.8)
展开，得
ห้องสมุดไป่ตู้
(1 1B S BS 1S BS1) Xt at 。
由此可求得偏自相关函数。这种方法可以推广到 AR(n)模型
(11B L nBn )(1S BS ) Xt at 或更一般的情形 (B)U (BS ) Xt at ， 即 (11B L nBn )(1 u1BS u2B2S L upB pS )Xt at 。
对于季节时间序列来说，除了建立随机序列模型来刻画 周期规律外，还可以在理论分析证明系统确实存在确定性的 周期波动的情况下，用一个确定性的模型予以描述。
破性实证研究，否则不采用季节模型。 当判明周期后，第二个问题的解决主要依靠自相关函数
提供的信息来选择暂定模型。为了便于应用，B-J 给出了一些 常用的季节模型的自协方差。（见参考书目（1））。
破性实证研究，否则不采用季节模型。 当判明周期后，第二个问题的解决主要依靠自相关函数
提供的信息来选择暂定模型。为了便于应用，B-J 给出了一些 常用的季节模型的自协方差。（见参考书目（1））。
当然，不论如何选择暂定模型，拟合模型之后都要进行 适应性检验，直到得到最优模型为止。也可运用 Pandit-Wu 方法，经过试误检验探寻最适应模型。
ARIMA 模型是乘积季节模型的一个特例。
二、常用的随机季节模型
1. (1 B12 )(1 B) Xt (11B)(112B12 )at 模型由两个模型组合而成。
(7.2.5)
(1) (1 B12 ) Xt (112B12 )et
(7.2.5a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。
(2) (1 B)et (11B)at
Wt (11B)(112B12 )at at 1at1 12at12 112at13。
如果一个序列适合上述模型，则其理论自相关函数满足
1 0, 12 0, 13 112，其他的 k 0。 (7.3.12)
在具体应用中，如果序列 Xt 的样本自相关函数持续较 大 ， 启 示 我 们 应 该 对 序 列 Xt 进 行 一 阶 差 分 处 理 ， 即 Yt (1 B) Xt。
第七章 季节性时间序列分析方法
第一节 简单随机时序模型 一、季节时间序列 定义 在一个时间序列中，若经过 S 个时间间隔后呈 现出相似性，就说该序列具有以 S 为周期的周期特性。具 有周期特性的序列就称为季节性序列。S 为周期长度，一 个周期内所包含的时间点称为周期点。 有的时间序列可能同时含有长度不同的若干周期。通 常根据周期长度及其作用程度称之为主周期、谐波、次谐 波等。
或
U
(
BS
)
D S
X
t
V (BS )et
其中
U (BS ) 1 u1BS L upB pS V (BS ) 1 v1BS L vqBqS
et 内容与性质： (1) et 是原序列消除了不同周期的同一周期点之间相关 部分（即季节分量）之后的剩余序列。 (2) et 不一定相互独立。这是因为同一周期的不同周期点 之间也可能有一定的相关关系。因此季节性模型有一定的不 足，在一定程度上讲，它是一个不完备的模型。
11
112
(1
12
)(1
2 12
)
12
1212
2 12
(1
12
)(1
2 12
)
12
1
2 12
13
112
(1
12
)(1
2 12
)
14 15 L 0
可见，1实际上是模型（7.3.2）的一阶自相关系数，而 12
则是模型（7.3.1）的一阶自相关系数。因此，不难求出1, 12
的估计式。
类似地，当各周期点之间的关系适合一个 MA(m)模型
根据偏自相关函数在周期点的截尾性来判定模型的阶
数。但需要注意的是，样本的偏自相关函数不可能精确为零，
因此偏自相关函数的截尾性只能提供一些定阶信息。
二、季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
(
B)U
(
B
S
)d
D S
X
t
V (BS )(B)det
(7.2.2)
根据（7.2.1）式，即有
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
(
B)U
(
B
S
)
d
D S
X
t
V (BS )(B)at
(7.2.3)
在（7.2.3）中，(B)d Xt 仅表示同一周期内不同周期点
的相关关系；而U
和 MA 算子V (BS )的阶数很少超过 1 阶，当可利用数据序列
的长度不足以支持 p>1 和 q>1 的复杂模型时尤为如此。
(2) 在具体建模过程中，要特别注意利用自相关函数提
供的信息。例如在模型
(1 B12 )(1 B) Xt (11B)(112B12 )at
(7.2.5)
中，假设Wt (1 B12 )(1 B) Xt ，则有
(3) 从应用的角度来看，由于估计和检验可以借助计算 机统计分析软件来实现，因此应用的关键问题有两个：一是 如何知道所研究的序列含有周期性规律以及周期的长度；二 是拟合一个什么样的模型最为适合。
关于第一个问题，解决的方法就是对所研究序列进行检 验。最简单易行的办法就是绘制数据图，也可以根据序列的 相关系数所提供的信息建立试探性的三角函数模型来判断。 但是，不论用什么方法得到的判断，都要符合所研究系统的 机理。如果没有一定的理论分析能够支持定量测试的结论， 则一般不宜建立季节时序模型，除非是要对现有理论进行突
(
B
S
)
D S
则描述不同周期的同一周期点上的
相关关系。二者结合起来便同时刻画了两个因素的作用。另
一方面，从（7.2.3）式结构形式上看，它是随机性季节模型
与 ARIMA 模型的结合式，故称为乘积季节模型，其阶数用
(n, d, m) ( p, d, q)S 来表示。
将（7.2.3）式展开，则可得到一般的 ARIMA 模型。例如
et (11B)at , (7.3.2)
则得到一个周期为 S 的季节性 MA(1)模型，即(0,0,1)(0,0,1)S
模型
Xt (11B)(1S BS )at
(7.3.3)
Xt (11B)(1S BS )at 将（7.3.3）式展开，可得
(7.3.3)
Xt at 1at1 S atS 1S atS1
如果Yt序列滞后 12、24、48、…期的样本自相关函数持 续较大，则应该对Yt 序列进行 12 阶季节差分，即Wt (1 B12 )Yt 。
再计算Wt 的样本自相关函数。若计算结果与条件（7.3.12） 式基本一致，则可认为对 Xt 序列拟合模型（7.2.5）是适合的。
实例：1987-1996 年甲地某商品月销售量资料的时间序 列分析。（P189-190）。
当然，不论如何选择暂定模型，拟合模型之后都要进行 适应性检验，直到得到最优模型为止。也可运用 Pandit-Wu 方法，经过试误检验探寻最适应模型。
对于季节时间序列来说，除了建立随机序列模型来刻画 周期规律外，还可以在理论分析证明系统确实存在确定性的 周期波动的情况下，用一个确定性的模型予以描述。
时，有
Xt (B)(1S BS )at
上式可以等价地写成
(7.3.6)
Xt (11B L mBm )(1S BS )at (11B L m Bm S BS 1S BS1 L mS BSm )at
这样就可以求出自相关函数。
这种做法可以推广到更一般的情形：
Xt (B)V (BS )at ， 其中V (BS ) 1 v1BS v2B2S L vqBqS 。
第二节 乘积季节模型
一、乘积季节模型的一般形式
在随机季节模型
U
(
B
S
)
D S
X
t
V (BS )et
(7.1.6)
中，由于et 不是独立的，因此不妨假设et 适合一个
ARIMA(n,d,m)：(B)det (B)at ，
(7.2.1)
这里at 为白噪声序列。在（7.1.6）式两端同乘以(B)d ，得
对于季节性时间序列通常按周期进行重新排列，得到 一个以周期点为行、以周期为列的二维表（见 P182 表 7.1 和表 7.2）。这样做不仅有助于加深理解序列的周期特性， 而且有助于形成建模思想和理解季节模型的结构。
二、随机季节模型 在确定性时序分析中，常用的处理方法是对季节时间 序列的季节分量拟合一个三角函数模型或求一个固定的 季节指数。随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周 期之间相关关系的拟合。 如周期为 12 个月的月份资料，就是研究不同年份的 同一个月份的观察值之间的记忆性。