腹有诗书气自华《数值计算方法与Matlab 》 样卷答案一．填空题：（每空3分,共42分）1． 8，6105.0-⨯ 。
2．)(3)1(2)1(1)(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(3)(2)(1)(1)1(1)1(22)22()1()1(222)1()222(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωωωωωωωωωω-+--=---⋅+=+--+-=---⋅+=++--=+--⋅+=+++++++++，)2,1(∈ω。
3．],[1b a C S m -∈。
4. 1e 2e ---x ，⎩⎨⎧==-=⋅--⎰,3,2,1,0;0,e 1d )(e 110k k x x g k x ，正交投影。
5. 2阶，6阶。
6．10.6658，10.9521，10.9501。
7. 4002.2)00.1(=ε，4030.2)01.1(=ε。
二．解下列各题：（每题9分，共36分）1．解：令)1(23+=t x ， （2分） 则⎰⎰-+++=+112302dt )1(25.21)1(49d 1t t x x x ⎭⎬⎫++++⎩⎨⎧++-+-≈22)6.01(25.21)6.01(9525.2198)6.01(25.21)6.01(9549 （8分）210631.10≈ （9分） 2．解：记系数矩阵为A, 对增广矩阵[]b A |作初等行运算,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--401533933112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==5.55.115.35.405.75.401125.1,5.11,31,2l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=45.114005.75.4011212,3l , 所以13-=x ,2)5.75.1(5.4112=-=x x ,1)1(21321=-+-=x x x ,即方程组的解为 [1,2,-1]T . （4分）故系数矩阵A 的LU 分解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4005.75.40112115.1015.1001A 。
（6分）腹有诗书气自华由于∞∞∞-∞∞∞∞∞∞∆⋅=∆≤∆||||||||||||||||||||||||)(cond ||||||||1b b A A b b A x x ， 而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-41410125367313192311A ，所以24||854||181715||||||||εε=⋅⋅≤∆∞∞x x 。
（9分） 3．解：设x x f ln )(=，区间[1, 2]应分成n 等份才能满足给定的要求，则步长nh 1=。
于是4)4(6)(xx f -=且]2,1[,6|)(|)4(∈∀≤x x f 。
由于12ln d ln 1ln 021<<<=⎰x x ，故要求计算结果具有四位有效数字，则需要复化Simpson 公式的余项41021|)(|-⨯≤f R 。
（2分） 根据复化Simpson 公式的余项，得 4444)4(4)4(218062180|)(|)2(180)(|)(|nn f h f f R ⨯≤⨯=-=ηη， （6分） 这里]2,1[∈η。
令444102121806-⨯≤⨯n ，得到54.2≥n 。
所以取n = 3 就能满足要求，即需要取2n+1 = 7 个节点处的函数值。
（9分） 4. 解：4阶Runge-Kutta 公式为)22(1543211k k k k y y n n ++++=+π，ny k cos 2.0111-=， )2.0cos(2.01112hk y k n ⋅+-=π，)2.0cos(2.01123hk y k n ⋅+-=π， )4.0cos(2.01134hk y k n ⋅+-=π。
（6分） 由00=y 经计算可得y 1 = 1.45524225，y 2 = 2.61384126， （8分） 所以61384.2)8.0(≈πy 。
（9分）三. 应用题：（每题11分，共22分）1. 解：令i i Y y ln =，b a a a ==10,ln ，则t a a bt a Y y 10ln ln +=+==， （2分） 于是问题转化为用线性最小二乘法求10,a a 。
转化后新的数据表如下：腹有诗书气自华取},1{},{21t ==Φφφ，用1100ϕϕa a y +=通过最小二乘法拟合上述数据，所以10,a a 满足法方程组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(101011011000ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕy y a a 其中51),(4000==∑=k ϕϕ，10),(),(400110===∑=k k t ϕϕϕϕ，30),(40211==∑=k k t ϕϕ， 4230.18),(400==∑=k k y y ϕ,37.0244),(401==∑=k k k t y y ϕ. 于是得法方程组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡37.0244423.183********a a （8分） 解之，得，0.01784100305423.18100244.3751=-⨯⨯-⨯=a 3.6489201784.026846.35)10423.18(10=⨯-=÷-=a a （10分） 0178.0,4331.38e e 13.648920≈=≈==a b a a ，故所求的最小二乘拟合函数为：)1978(0178..0e 4331.38-=t Y （11分）2. 解：令x 0 = 0, x 1 = 3, x 2 = 5, x 3 = 8, x 4 =13, 所以n = 4 . 由 1560)13)(8)(5)(3()130)(80)(50)(30()13)(8)(5)(3()(0----=--------=x x x x x x x x x l ， 300)13)(8)(5()133)(83)(53)(03()13)(8)(5)(0()(1----=--------=x x x x x x x x x l ， 240)13)(8)(3()135)(85)(35)(05()13)(8)(3)(0()(2---=--------=x x x x x x x x x l ， 600)13)(5)(3()138)(58)(38)(08()13)(5)(3)(0()(3----=--------=x x x x x x x x x l ， 5200)8)(5)(3()813)(513)(313)(013()8)(5)(3)(0()(4---=--------=x x x x x x x x x l ，腹有诗书气自华和)()()(40k k k n x f x l x L ∑==可得)13()10()8()10()5()10()3()10()10(43214f l f l f l f l L +++=67.77852799347623473832255200)810)(510)(310(10993600)1310)(510)(310(10623240)1310)(810)(310(10383300)1310)(810)(510(10225)10(4≈⨯+⨯+⨯-=---+----+---+----=L 所以在t = 10秒时,距离约为778.67（米）。
（6分） 再根据15601071560)8)(5)(3(1560)13)(5)(3(1560)13)(8)(3(1560)13)(8)(5()(10100-=---+---+---+---='==x x x x x x x x x x x x x x x l300140300)8)(5(300)13)(5(300)13)(8(300)13)(8)(5()(10101=---+---+---+----='==x x x x x x x x x x x x x x x l240172240)8)(3(240)13)(3(240)13)(8(240)13)(8)(3()(10102-=--+--+--+---='==x x x x x x x x xx x x x x x l600115600)5)(3(600)13)(3(600)13)(5(600)13)(5)(3()(10103=---+---+---+----='==x x x x x x x x x x x x x x x l52006605200)5)(3(5200)8)(3(5200)8)(5(5200)8)(5)(3()(10104=--+--+--+---='==x x x x x x x x xx x x x x x l96.759935200660623600115383240172225300140)13()10()8()10()5()10()3()10()0()10()10(432104≈++⋅-⋅='+'+'+'+'='f l f l f l f l f l L故在t= 10秒时速度约为75.96（米/秒）。
（11分）出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。
先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。
后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。