第十六讲 锐角三角函数及其实际应用命题点1 特殊角的三角函数值1. (2022天津)tan 45°的值等于( ) A. 2 B. 1 C.22 D. 33命题点2 直角三角形的边角关系2. (2022陕西)如图，AD 是△ABC 的高．若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为( )第2题图A. 32B. 35C. 37D. 623. (2021玉林)如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有( )第3题图A. h 1＝h 2B. h 1<h 2C. h 1>h 2D. 以上都有可能4. (2022乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 ，点D 是AC 上一点，连接B D.若tan A ＝12 ，tan∠ABD ＝13 ，则CD 的长为( )A. 25B. 3C. 5D. 2第4题图5. (2022连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A ＝______．第5题图6. (2021上海)如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC ＝45 ，BF 为AD 边上的中线．(1)求AC 的长； (2)求tan ∠FBD 的值．第6题图命题点3 锐角三角函数的实际应用类型一 解一个直角三角形7. (2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC ，其中 AB ＝AC ，∠ABC ＝27°，BC ＝44 cm ，则高 AD 约为(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)( ) A. 9.90 cm B. 11.22 cm C. 19.58 cm D. 22.44 cm第7题图8. (2022金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC ＝6 m ，∠ABC ＝α，则房顶A 离地面EF 的高度为( )第8题图A. (4＋3sin α) mB. (4＋3tan α) mC. (4＋3sin α ) mD. (4＋3tan α) m9. (2022柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35 ，堤坝高BC ＝30 m ，则迎水坡面AB的长度为________m.第9题图10. (2022宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识．某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB 可伸缩(最长可伸至20 m )，且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2 m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9 m .(1)若∠ABD ＝53°，求此时云梯AB 的长；(2)如图②，若在建筑物底部E 的正上方19 m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据： sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)第10题图类型二背靠背型11. (2022安徽)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75.第11题图12. (2022宿迁)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20 m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).第12题图13. (2021遂宁)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).第13题图类型三母子型考向1同一个观测点观测两个位置点14. (2022天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).参考数据：tan 35°≈0.70，tan 42°≈0.90.第14题图源自人教九下P76第1题考向2两个观测点观测同一个位置点15. (2022山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长(结果精确到1 m．参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，3≈1.73).第15题图16. (2022甘肃省卷)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图①)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE).数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8 m，地面到水面的距离DE＝1.5 m，∠CAF＝26.6°，∠CBF ＝35°.问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70.根据上述方案及数据，请你完成求解过程．第16题图考向3两个观测点观测两个位置点17. (2022重庆A卷)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)第17题图源自人教九下P84第9题类型四拥抱型18. (2021自贡)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，3≈1.73)第18题图类型五实物模型19. (新趋势)·真实问题情境(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm；参考数据：sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08)第19题图20. (新趋势)·真实问题情境(2022常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情. 某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成. 图②是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°. 求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数).(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan 25°≈0.47，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)第20题图21. (2022江西)图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A≈72.9°，AD＝1.6 m，EF＝6.2 m．(结果保留小数点后一位)(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离).(参考数据：sin 72.9°≈0.96，cos 72.9°≈0.29，tan 72.9°≈3.25)第21题图22. (2022嘉兴)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②，已知AD＝BE＝10 cm，CD＝CE＝5 cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.(1)连接DE，求线段DE的长；(2)求点A，B之间的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)第22题图。