广东仲元中学2015学年第二学期期中考试高一年级试数学试卷命题人：叶春风 审题人：苏宏英Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．120-°的角所在象限是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ )A ．21 B ．1C ．2D ．43．在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则下列结论一定正确的是（ ）A ． ABCD 一定是矩形B ． ABCD 一定是菱形C ． ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为( ）A ．53- B ．53C ．54-D ．54 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是( ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ）A ．91-B ．92C ．98-D ．32 7．向量)1,2(),2,1(=-=b a ，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30°8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足CD CM λ=，10<<λ，则=⋅AB AM ()A ． 4B ．2C ．λ2D ．λ2- 9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数10．若函数x x f 2sin )(=,则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为( )A ． )0,4(πB ．)0,3(πC ．)0,2(πD ． )0,(π11．要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象（ )A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位,再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位12．已知P是ABC∆所在平面内一点，D 为AB 的中点,若PB PA PC PD ++=+)1(2λ,且PBA∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为( ）A ．2-B ．1- C ．1D ．2Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13．已知平面向量)1,2(-=a =_________． 14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________．15．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于 ．16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,，则=λ ，=μ ．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图(先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2）当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值；（2)求向量a 与b 的夹角θ．19．(本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y （米)是时间t (0≤t ≤24,单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t ),下表 是某日各时的浪高数据：经长期观测,y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos（1）根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动?20．（本小题满分12分） 已知向量)1,2(),sin ,(cos -==b a θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=-2,0,2πθb a ，求)4sin(πθ+的值．21．(本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =,(cos ,2)b x =(1）若//a b ，求tan 2x 的值； (2)若()()f x a b b =-⋅,求()f x 的单调递增区间．22．(本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=（1)求)24(πf 的值；（2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值;(3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x xx x <，分别求实数a 与2111x x +的取值范围．广东仲元中学2015学年期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分．CCDDC CBAAC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分．13．514．23 15．4π16． 31，32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分) 解：（1)列表如下…………3分 图像（略） …………6分 (2）[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1,……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时,函数()f x 取得最小值1-，……………9分∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分 18． （本题满分12分)解： （1）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =， ∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b .……………2分 ∵(3)-⊥a b c ，∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ……………5分 解得1m =-。

……………6分 (2）由（Ⅰ）知(1,3),=a (1,2)=-b ，∴5b =a ，……………7分==a b ,……………8分 ∴5cos 10b θ===⨯b a a 。

……………10分 ∵[0,]θπ∈， ∴4πθ=。

……………12分 19． (本小题满分12分）解： (1）由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝＝＝, ……………2分由t ＝0,y ＝1.5，得A ＋b ＝1。

5。

由t ＝3，y ＝1。

0，得b ＝1。

0. ∴A ＝0。

5，b ＝1，∴16cos 21+=t y π。

(5)分（2）由题知，当y 〉1时才可对冲浪者开放，∴cos t ＋1〉1， ……………6分∴cos t 〉0，∴2kπ－〈t 〈2kπ＋,k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。

① ……………9分∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0，1,2，得0≤t 〈3或9〈t 〈15或21<t ≤24. ……………11分∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00。

……………12分20．（本小题满分12分）解：(1）由b a ⊥可知，0sin cos 2=-=⋅θθb a ，所以θθcos 2sin =，……………3分所以……………5分(2)由)1sin ,2(cos +-=-θθb a 可得， ……………6分b a 22)1(sin )2(cos ++-=θθ64cos 2sin 2θθ-+，即0sin cos 21=+-θθ，① ……………8分 又1sincos 22=+θθ,且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ②， ……………9分 由①②可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==54cos 53sin θθ， ……………10分 所以1027)5453(22)cos (sin 22)4sin(=+=+=+θθπθ． (12)分21．(本小题满分12分）解://23sin cos 0a b x x ⇒-=，……………2分故tan x =……………3分 所以22tan tan 21tan x x x ==-．……………5分（2）215()()3sin cos cos 22cos 222f x a b b x x x x x =-⋅=--=-- 5sin(2)62x π=--……………8分令222,,26263k x k k Z k x k k Zπππππππππ-+≤-≤+∈⇒-+≤≤+∈……………10分所以()f x 的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………12分22．（本小题满分12分） 解：（1）∵()2cos21f x x x ++ ……………1分12cos 2)12x x =++ 2sin(2)16x π=++……………3分∴()2sin()12sin 11241264f ππππ=++=+ (4)分（2）由222,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈得,36k x k k Z πππ-≤≤π+∈∴()f x 在区间,()36k k k Z ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 ∴当k =时，()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ……………5分 若函数()f x 在区间[,]m m -上是单调递增函数,则[,][,]36m m ππ-⊆-……………6分∴630m m m π⎧≤⎪⎪π⎪-≥-⎨⎪⎪>⎪⎩，解得06m π<≤……………7分 ∴m的最大值是6π……………8分（3）解法1：方程()0f x a -=在区间(0,)2π内有两实数根1212,()x xx x <等价于直线y a =与曲线()2sin(2)16f x x π=++(02x π<<）有两个交点。

∵当02x π<<时， 由（2）知()2sin(2)16f x x π=++在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数， …9分 且(0)2,()3,()0,62f f f ππ=== ∴23a << 即实数a的取值范围是(2,3)……………10分 ∵函数()f x 的图象关于6x π=对称 ∴123x xπ+=.∵12x x <，∴106x π<<。