例8. 解：
例9.分解因式 f x x6 4x5 8x4 10x3 8x2 4x 1
提示：先用综合除法求有理根，再结合试用重因式方法。
解: 因为 f (x) 的有理根只可能为 1 ，所以先用综合除法：
1 1 4 8 1 0 8 4 1 1 3 5 5 3 1
1 3 5 5 3 1 0 1 2 3 2 1
1 2 3 2 1 0 1 1 2 0 1 2 0 1 0
得到-1是一个2重根，所以
f (x) (x 1)2(x4 2x3 3x2 2x 1)
最大公因式，互素及不可约多项式等概念之间的联系与区别。
（三）题型归纳
（1）计算问题：带余除法，综合除法，用辗转相除法求最大公因式，
用微商判别多项式是否有重因式、重根；
（2）证明问题：关于多项式的最大公因式与互素的证明问题，整除性
的证明，重根、重因式的证明问题，多项式不可约的 证明及其它证明等。
（四）综合举例
于是 f (x) (x 1)2(x2 x 1)2
c)用辗转相除法求最大公因式
例10.设f x x4 x3 4x2 4x 1 , gx x2 x 1，求 ux,vx
使得ux f x vxgx f x, gx。
f (x) (x2 3)g(x) (x 2), g(x) (x 1)(x 2) 1 ( f (x), g(x)) 1 1 (x 1)(x 2) g(x) (x 1)[ f (x) (x2 3)g(x)] g(x) (x 1) f (x) [1 (x 1)(x2 3)]g(x) (x 1) f (x) (x3 x2 3x 2)g(x) 所求的 u(x) (x 1),v(x) x3 x2 3x 2
1 4 10 24c1 2 12
1 6 22c2
2 1 8c3 c4 所以 f (x) 11 24(x 2) 22(x 2)2 8(x 2)3 (x 2)4
4
例4. 解：
b)综合除法
例5.设 f x x4 2x3 2x 5, gx x 2
用gx除f x，求商qx与余式 rx。
提示: 用综合除法做除式为x 2 的带余除法。
解: 1 2 0 2 5 2 ) 2 0 0 4 1 0 0 2 9 故 q(x) x3 2, r(x) 9
(1)计算问题
a)带余除法
例1.用 g(x) 除f (x) ,求商式 q(x) 与余式r(x) ，其中 f (x) 2x3 3x2 5
g(x) x2 2x 1.
提示：采用竖式除法求解。
解 x2 2x 1 2x3 3x2 5 2x3 4x2 2x x2 2x 5 x2 2x 1
考虑
g(x) x4 2x3 3x2 2x 1, g(x) 4x3 6x2 6x 2
用辗转相除法求出
(g(x), g(x)) x2 x 1
所以有理数域上的不可约多项式p(x) x2 x 1是g(x) 的2重因式， 因此 g(x) (x2 x 1)2
例6. 解：采用综合除法，可得
例7.将多项式 f x x4 2x2 3 表示成 x 2的方幂之
和的形式。
提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。
解:
1 0 2 0 3 2
) 2 4 4 8
1 2 2 4 11c0 2 8 20
第一章 多项式 习题课
（一）知识结构
数域
带余除法 整除 定义、定理
多项式除法
性质 定义、定理
多项式 一元多项式
最大公因式 辗转相除法 互素
因式分解及唯一性定理
重因式、多项式函数 多项式分解
复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式的因式分解
多元多项式、对称多项式
（二）重难点归纳
重点：一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式； 难点：最大公因式的定义，一元多项式的整除性，一元多项式的整除、
(8a3 a)x b 2 8a2 因为x2 2ax 2 x4 3x2 ax b故(8a3 a) 0且b 2 8a2 0 故当a 0,b 2或者a 2 ,b 3时, x2 2ax 2 x4 3x2 ax b
2x 1
4x 4
故 2x3 3x2 5 (2x 1)(x2 2x 1) (4x 4),
即商为2x 1,余式为4x 4.
例2.设 f x x4 2x 5, gx x2 x 2，用 gx除f x，
求商式与余式。解：例3问 a, b满足什么条件时，x2 2ax 2 x4 3x2 ax b.
提示：采用竖式除法及带余除法定理求解即可。
解： x2 3 x4 x3 4x2 4x 1 x2 x 1 x 1 q1(x) x4 x3 x2 x2 2x q2 (x) 3x2 4x 1 x 1 3x2 3x 1 x 2 r1(x) x 2 r2 (x) 1
提示：采用竖式除法。
解 x2 2ax 2 x4 3x2 ax b x2 2ax (1 4a2 ) x4 2ax3 2x2
2ax3 x2 ax b 2ax3 4a2 x2 4ax
(1 4a2 )x2 3ax b (1 4a2 )x2 (2a 8a3)x (2 8a2 )