的切线知识点一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示:
二、切线的性质及判定
1.切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
2.切线的判定：
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.切线长和切线长定理：
（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角•
①切线的判定定理
设创为00的半径，过半径外端川作/丄如则0到/的距离d=r, ：.1与00相切.因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切线”.举例说明：只满足题设的一个条件不是G）O的切线.
证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证d=τ②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心
例2、已知：如图8,在Rt ΔABC 中，ZB = 90o , ZA 的平分线交BC 于点D, E 为AB 上的一点, DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作GID 。
求证：(1) AC 是GID 的切线；(2) AB+EB=AC
OA 过圆心，OA 过切点八则OA 丄AT ②经过圆心，垂直于切线=过切点 ⑴伽圆心］»为切点 (2)ΛB 丄 MT
③ 经过切点，垂直于切线=过圆心 (1) AM 丄
MT
(2) M 为
> => AM 过圆心
考点一、圆的切线的证明
例1、如图，ΔA3C 中，AB = AC 9 0是BC 的中点，以0为圆心的圆与A3相切于点D 。
求证：AC 是C)O 的切线。
2
A 、y/ab
B 、
ab D 、
巩固练习、如图，已知OO 中，AB 是直径，过B 点作OO 的切线BC,连结CO.若AD 〃OC 交OO 于D.求证：CD 是（DO 的切线•
考点二、切线长定理及切线性质的应用
例1、在RtMBC 中，ZA = 90。
，点O 在BC 上，以O 为圆心的G ）O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ,
若AB = a, AC = b,贝IJoo
的半径为（
）
a+ b
例2.如图,AB丄BC, DClBC , BC与以AD为直径的G)O相切于点E, AB = 9, CD = A9则四边形ABCD的面积为 _______________ o
D
例3.如图，0O为RtΔΛBC的内切圆，点D、E、F为切点，若AD = 6, BD = 4,则ΔABC的面积为_____________ o
例4、如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为0, CG切半圆于。
交AD于F ,交BA的延长线于G , GA = So
(1)求ZG的余弦值;
(2)求AE的长。
D C
巩固练习：
1、正方形ABCD中，AE切以BC为直径的半圆于E,交CD于F,则CF: FD=（）
A、1 ： 2
B、1 ： 3
C、1 ： 4
D、2 ： 5
2、如图,AB是半C）O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合）, 点。
在半0O上运动，且总保持PQ = PO,过点。
作OO的切线交BA的延长线于点C。
（1）当Z0PA = 6O。
时，请你对AoCP的形状做出猜想，并给予证明；
（2） ___________________________________________________ 当0P丄AB时，A0CP的形状是三角形；（3）则（1）（2）得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时，^QCP 一定是三角形。
Q
C APMO B
知识点小结:
专项练习
【切线的证明】
1、如图，割线MC与0O相交于B、C两点，D为0O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F , DE 交AC 于G , ZADG = ZAGDO
(1)求证：AD是Oo的切线；
(2)如果AB = 2, AD = 4, EG = 2,求GlO 的半径。
厂
2、如图，M 是半圆（圆心为0）的直径，OD 是半径,SW 切半圆于$ OC 与弦肋平行且交 于G
（1） 求证：G?是半圆的切线；
（2） 若月万长为4,点0在半圆上运动，设肋长为％,点月到直线G?的距离为），，试
求出y 与X 之间的函数关系式，并写出自变量X 的取值范用。
【切线长定理及切线性质的应用】
1、如图，已知ΔABC 中，AC = BC, ΛCAB = a （定值），C>O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC 、 BC 相切于点P 、0。
（1） 求 ZPoQ ；
（2） 设£＞是G4延长线上的一个动点，DE 与OO 相切于点M,点E 在CB 的延长线上，试判
断ZDOE 的大小是否保持不变，并说明理由。
B
2、如图，初是Θ0的直径，点C在00的半径月0上运动，尸C丄月万交00于E PT切00于T, Q2. 5。
（1）当亦正好是00的半径时，PT=2,求00的半径；
（2）设PT2 = y , AC = x,求出y与X之间的函数关系式；
（3）Z∖∕7T能不能变为以R7为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△尸Tr的面积：若不能, 请说明理山。
1、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D, DF是圆的切线, 过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为
A・4 B∙ 3√3 C・6 D. 2√3
2、如图，肋是Glo的直径，M是弦，ODLAC于点D过点力作Θ0的切线月只处与仞的延长线交于
点只连接尸G BC.
(1)猜想：线段血与兀有何数量和位置关系，并证明你的结论.
(2)求证：刖是Θ0的切线•
A
3、如图，在RtΔABC中，ZC=90o , BC=4cm,以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则G)C与
AB的位置关系是__________________________
第3题
4、如图，AB是G）O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切OO于点E,交AM与于点D,交BN 于点C, F是CD的中点，连接OF。
（1）求证：0D/7BE;
（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理曲。
课后练习
1.“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（）
A、经过半径外端点的直线是圆的切线：
B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线：
C、垂直于半径的直线是圆的切线；
D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.两个圆的圆心都是0,半径分别为斤、£，且r x<OA<r1,那么点力在（）
A> Θ η内B× Or2外G。
人外，Θ乙内D、O片内，O 外
3.一个点到圆的最小距离为4曲，最大距离为9cm,则该圆的半径是（）
Ay 2. 5 CΛ?或6. 5 Cm B、2. 5 CnI C、6. 5 CnI D、5 Cm^ 13Cin
4.三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
5.已知PA、阳是OO的切线，A> B是切点,ZAPB = 78。
，点C是Oo上异于A、B的任
一点，贝IJZACB = ____________
6.如图，已知Oo的直径为AB9 BD = OB, ZGAB = 30°, 请根据已
知条件和所给图形写出4个正确的结论
(除QA = OB = BQ外)：①_________ ;②___________ ;
③ __________ ；④ _________ O
7.若圆外切等腰梯形ABCD(AD//BC)的面积为20, AD与BC之和为10,则圆的半径
为_____ O
8.如图，AB是C)O直径，EF切C)O于C, AD丄EF于D,求证：AC2=AD ∙ AB
9.如图，AB是Oo的弦，AB二12, PA切OO于茁Po丄AB于C, Po二13,求PA的长。