Southwest university of science and technology Matlab分析RLC电路的电压调制系统姓名：李海浪学号：20085054班级：自动0802姓名：文静学号：20085100班级：自动0804姓名：冯艺学号：20085105班级：自动0804姓名：于志民学号：20085106班级：自动0804姓名：李智豪学号：20085125班级：自动0804姓名：李春华学号：20085126班级：自动0804Matlab分析RLC电路的电压调制系统串联电路如图所示：其中R、L、C均为常数，输出端开路（或者负载很大，可以忽略），建立输入输出间的数学模型，并用Matlab仿真调试，修改电路。

遵照建立微分方程的步骤，可有：（1）确定输入量为U r（t），输出量U c（t），中间量为i（t）。

（2）该电路由一个电感L，一个电阻R和一个电容C组成，由霍尔夫电压定律可得：L didt+Ri+u c=u r（t）（1-1）（3）列写出中间变量i和输出量uc的关系式：i=C du cdt（1-2）（4）为消去中间变量i，可对式（1-2）微分，得：di dt =C d2u cdu2 (1-3)（5）将式（1-2）和式子（1-3）代入式子（1-1），可得：LC d2u cdt2+RC du cdt+u c=u r (1-4)将R=1000Ω，L=500H，C=500uF带入（1-4）既可以得出：d 2u c dt 2+2du cdt+4u c =4u r 下面借助于MATLAB 来进一步分析：有微分方程，可以得到其传递函数，由其传递函数在来分析其系统的其他因素 在MATLAB 下输入： num=[4]; den=[1 2 4]; G=tf(num,den) 得到：Transfer function: 4 -------------- s^2 + 2 s + 44)2(4)()(++=S S S R S C由传递函数可以知道其零、极点分布图 在MATLAB 下输入： >>num=[0 4];>>den=conv([0 1],conv([0 1],[1 2 4])); >>pzmap(num,den); >>grid;>>title('Pole-Zero Map 4/(s^2+2s+4)');由零、极点分布可以知道此系统为欠阻尼系统。

系统最终趋向于稳定的…… 由MATLAB 得出系统根轨迹…… >>num=[0 0 4]; >>den=[1 2 4]; >>rlocus(num,den) >> v=[-3 0 -10 10]; >>axis(v) >>grid>>title('Rott Locus Plot of G(S)=4/(S^2+2*S+4)')-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1P ole-Zero M ap 4/(s 2+2s+4)Real AxisI m a g i n a r y A x i s稳定性：由根轨迹图可见，无论开环增益K 取何值，系统的根轨迹曲线和相应大的系统极点分布在S 的左半平面内，故该闭环系统总是稳定的。

关于系统的稳定，也可以用劳斯表判定。

观察响应曲线 在MATLAB 输入： >>num=[0 0 4]; >>den=[1 2 4]; >>step(num,den); >>grid;>>title('response of 4/(s^2+2s+4)');-3-2.5-2-1.5-1-0.5-10-8-6-4-2246810Rott Locus P lot of G(S)=4/(S 2+2*S+4)Real AxisI m a g i n a r y A x i s动态性能指标可如下求得： 建立m 文件 num=[0 0 4]; den=[1 2 4];[y,x,t]=step(num,den); [peak,k]=max(y); overshoot=(peak-1)*100 tp=t(k) n=1;while y(n)<1 n=n+1; end tr=y(n) m=length(t)while(y(m)>0.98)&(y(m)<1.02)12345600.20.40.60.811.21.4response of 4/(s 2+2s+4)Tim e (sec)A m p l i t u d em=m-1; end ts=t(m)后在debug 下save and runovershoot = 16.3011 tp = 1.8221 tr = 1.0033 m = 109 ts = 4.0307上升时间：t r =1.0033S 峰值时间：t p =1.8221S 调节时间：ts =4.0307S 超调量：б%=16.3011%静态性能：静态速度误差常数：2S 1- 静态加速度误差常数：0以上性能指标可以通过超前、滞后和滞后超前装置改变来适应工程的要求。

现就基于根轨迹法的超前校正： 开环传递函数为：G(S)=)2(s 4s系统闭环传递函数为4)2(4)()(++=S S S R S C =））（（3j 1314-+++S j S闭环极点位于 S=-1±j 3闭环系统的阻尼比为0.5，无阻尼自然振荡频率为2rad/S ，静态速度误差常数为2S 1-。

现在要求改变闭环极点，使无阻尼自然振荡频率为n ω=4rad/S ，同时又不改变阻尼比的值，即保持5.0=ξ。

阻尼比0.5要求复数极点位于一条通过原点且与负实轴成±60°夹角的直线上。

因为阻尼比确定了共轭复数闭环极点的角坐标，极点与原点之间的距离取决与无阻尼自然振荡频率n ω，所以确定期望闭环极点的位置是：S=-2±j23G(s)在希望的闭环极点上的幅角为：∠︒-=++-=210)2(4322j s s s为了使根轨迹通过希望的闭环极点，超前校正装置必须在该点上产生︒=30φ的幅角。

据此确定超前校正装置的极点和零点，有两个未知数α和T ，下面介绍求α的最大可能值的步骤，见图1(比较大的α值将产生比较大的v K 值，比较大的v K 值代表比较好的系统性能。

)图1首先，通过期望主导闭环极点的位置P 值，画一条水平线A P 和一条连接P 点与原点的直线P O 。

将A P 与P O 之间的夹角等分得PB ，然后画PC 和PD 两条直线，它们与等分线PB 构成夹角2/φ±。

PC 和PD 与负实轴的交点，给出了超前网络极点和零点的值。

这样设计出来的校正装置，将使P 点落在校正系统的根轨迹上。

利用幅值条件，可以确定开环增益。

可以确定超前校正装置的零点和极点，如图2所示。

它们是零点位于s=-2.9，极点位于s=-5.4或345.09.21==T ，T α=185.04.51= 因此537.0=α。

则校正后系统的开环传递函数：()()()））（（）（）（4.5s 2s s 9.2s 2s s 44.5s 9.2s s 1s 1s s s cc c +++K =+•++K =•T+T +K =G G G α式中c 4K =K ，已校正系统的根轨迹如图所示。

图2增益K 可以根据幅值条件计算如下： 参考图2，增益K 为：()()()14.529.2s 322=+++K +-=j s s s s即7.18=K 由此得到()()()()()4.529.27.18+++=s s s s s G s G s 超前校正装置的常数68.447.18==K c 因此，51.2=K αc 。

于是超前校正装置的传递函数为 ()4.59.268.41185.01345.051.2++=++=s s s s s G c采用运算放大器的电子线路用作设计出来的超前校正装置，则该超前校正装置的参数值由下式确定：()()1185/01345.051.21122311142o ++⨯=++=E E s s s C R R R s C R R R s s i 如图3所示。

我们可以任意选择()F C C u 1021==和()Ω=k 103R 静态速度误差常数v K 由下式求出：v K =()()()()()()100s 02.54.529.27.18lim lim -→→=+++=s s s s s s s G s sG s c 设计出的系统的第三个闭环极点，可以通过用已知因式除特征方程式求得如下： ()()()()()()4.33223229.27.184.52+-+++=++++s j s j s s s s s图3上述校正方法使我们能够将闭环主导极点配置到复平面内希望的位置上。

第三个极点s=-3.4靠近增加的零点s=-2.9。

因此，该极点对瞬间响应的影响相当小。

因为对非主导极点未做任何限制，对于静态速度误差系数的值也未做任何规定，所以我们断定，上述设计是令人满意的。

下面用MATLAB 研究校正前后系统的单位阶跃响应特性。

校正系统的闭环传递函数为()()()()()()9.27.184.529.27.18s +++++=s s s s s s R C =23.545.294.723.547.1823++++s s s s 因此对未校正和校正后的阶跃响应图绘制如下：建立m 文件：numc=[0 0 18.7 54.23]denc=[1 7.4 29.5 54.23]num=[0 0 4]den=[1 2 4]t=0:0.05:5;[c1,x1,t]=step(numc,denc,t);[c2,x2,t]=step(num,den,t);plot(t,c1,t,c1,'o',t,c2,t,c2,'x')gridtitle ('Unit-step Response of Compensated and Uncompensated Systems') xlable('t Sec')ylable('Output c1 and c2')text(0.6,1.32,'Compensated system')text(1.3,0.68,'Uncompensated system')保存并运行Unit-step Response of Compensated and Uncompensated Systems00.51 1.52 2.53 3.54 4.55已校正系统的最大过调量显得略大一些，已校正系统的调整时间是未校正系统的一半。