6.不等式选讲6.1均值不等式在证明中的应用1. （1）已知,,,a b R x y R +∈∈，求证：()222x y x y a b a b++≥+；（2）已知实数,x y 满足：2221x y +=，试利用（1）求2221x y+的最小值。

（1）证：()()2222222222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+⇒ ⎪⎝⎭()222x y x y a b a b++≥+（当且仅当x y a b =时，取等号）； （2）解：()222222222212121922x y x y x y++=+≥=+，当且仅当2213x y ==时，2221x y +的最小值是9。

考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2绝对值不等式6.2.1单绝对值不等式2. 已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______. 答案：(1,2)解析：分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像， 由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点， 当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点， 当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切， 则由0∆=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点， 当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点， 当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点， 所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.考点：单绝对值不等式3. 存在0x < ，使得不等式22x x t <-- 成立，则实数t 的取值范围为_____________答案：9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：不等式22x x t <-- ，即22x t x -<- ，令11,y x t y =- 的图象是关于x t = 对称的一个V 字形图形，其象位于第一、二象限；222y x =- ，是一个开口向下，关于y 轴对称，最大值为2 的抛物线；要存在0x < ，使不等式22x t x -<- 成立， 则1y 的图象应该在第二象限和2y 的图象有交点，两种临界情况，①当0t ≤ 时，1y 的右半部分和2y 在第二象限相切：1y 的右半部分即1y x t =- ，联列方程22y x ty x =-=- ，只有一个解；即22x t x -=- ，即220x x t +--= ，1480t ∆=++= ，得：94t =- ； 此时1y 恒大于等于2y ，所以94t =-取不到； 所以904t -<≤ ；②当0t > 时，要使1y 和2y 在第二象限有交点， 即1y 的左半部分和2y 的交点的位于第二象限； 无需联列方程，只要1y 与y 轴的交点小于2 即可；1y t x =- 与y 轴的交点为(0,)t ，所以2t < ，又因为0t > ，所以02t << ；综上，实数t 的取值范围是：924t -<< ；故答案为：9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．考点：单绝对值不等式6.2.2同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+. （1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。

（1）当2a =-时，令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+---=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩， 作出函数图像可知，当(0,2)x ∈时，0y <， 故原不等式的解集为}{02x x <<； （2）依题意，原不等式化为13a x +≤+，故2x a ≥-对1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立，故22aa -≥-， 故43a ≤，故a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.考点：同系数绝对值相加型不等式6.2.3同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数()25f x x x =--- （1）证明：3()3;f x -≤≤（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集。

（1） 3,2()2527,253,5x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25x <<时，3273x -<-<，所以， 33fx -≤≤ （2）由（1）可知当2x ≤ 时，2()815f x x x ≥-+的解集为空集；当25x <<时，2()815f x x x ≥-+的解集为}{|55x x ≤≤ 当5x ≥ 时，2()815f x x x ≥-+的解集为}{|56x x ≤≤ 综上：不等式2()815f x x x ≥-+的解集：}{|56x x ≤≤ 考点：同系数绝对值相减型不等式6.2.4不同系数绝对值相加减型不等式6. 设函数()212f x x x =+-- （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若()211,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立，求实数t 的取值范围． （1）由题意得13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩当12x <- 时，不等式化为32x -->，解得55x x <-∴<-， 当122x -≤<时，不等式化为312x ->，解得112x x >∴<<， 当2x ≥时，不等式化为32x +>，解得12x x >-∴≥， 综上，不等式的解集为{}»ò15x x x ><-．（2）由（1）得()min 52f x =- ，若x R ∀∈，()2112f x t t ≥- 恒成立， 则只需()2min 51122f x t t =-≥-，解得152t ≤≤ ，综上，t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3已知绝对值不等式解求参数7. 设函数()3,0f x x a x a =-+>(1)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； (2)如果不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-，求a 的值。

（1）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

(2) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得=-12a -，故2a = 考点：已知绝对值不等式解求参数6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a=-时，求不等式()3f x≥的解集；（2）若()|4|f x x≤-的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 答案：（1）当3a=-时，52(2) ()|3||2|1(23)25(3)x xf x x x xx x-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩所以不等式()3f x≥可化为2523xx<⎧⎨-≥⎩，或2313x≤≤⎧⎨≥⎩，或3253xx>⎧⎨-≥⎩解得1x≤或4x≥因此不等式()3f x≥的解集为{|1x x≤或4}x≥（2）由已知()|4|f x x≤-即为|||2||4|x a x x++-≤-，也即|||4||2|x a x x+≤---若()|4|f x x≤-的解集包含[1,2]，则[1,2]x∀∈，|||4||2|x a x x+≤---，也就是[1,2]x∀∈，||2x a+≤，所以[1,2]x∀∈，22x ax a+≥-⎧⎨+≤⎩，从而1222aa+≥-⎧⎨+≤⎩，解得30a-≤≤因此a的取值范围为[3,0]a∈-.考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5含绝对值不等式的恒成立问题9. 已知函数()2121f x x x =++-，（1）若对任意的x 有()f x a ≥成立，求a 的取值范围；（2）若不等式12()02a b a a b f x ++-+≥，对于任意的,a b 都成立，求x 的取值范围。

（1）根据题意,a 小于等于()f x 的最小值由14,211()2,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩可得min ()2f x = 所以 2a ≤（2）当0a b += 即a b =- 时，20()0b f x -⋅≥ 恒成立，x R ∴∈ 当0a b +≠ 时，由绝对值不等式得性质可得2(2)a b a a b a a b ++≥+-=+ ，当且仅当(2)0a b a +≤ 时取''''= ，21a b a a b++≥+ 恒成立，12()02a b a a b f x ++-+≥ ，21()2a b a f x a b ++≥+1()12f x ∴≤ ，()2f x ≤ 1122x -≤≤ 考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6含绝对值不等式的能成立问题10. 已知函数()13f x x x =-++ . (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()0f x a -≤ 有解,求实数a 的取值范围.(1)()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩则当[]3,1x ∈- 时,()f x 为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4 ,∴ 实数a 的取值范围为4a ≥ .方法二:()1313x x x x -++≥--+ ;134x x ∴-++≥ ,等号当且仅当[]3,1x ∈- 时成立.得函数()f x 的最小值为4 ,则实数a 的取值范围为4a ≥.考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值11. 已知实数,x y 满足：11||,|2|,36x y x y +<-<求证：5||18y <． 证明：()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11||,|2|,36x y x y +<-<1153||=366y ∴<+.5||18y ∴<. 考点：绝对值的三角不等式6.8数形结合在含参绝对值不等式中的应用12. 已知函数()f x = （1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)g x k x =-，k R ∈，若()()f x g x >对任意的x R ∈都成立，求实数k 的取值范围．（1）()f x =|3||4|x x ==-++，()(4)f x f ∴≥，即|3||4|x x -++9≥,4,349x x x ≤-⎧∴⎨---≥⎩① 或43,349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3,349,x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥．（2）()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方，可以作出21,4,()|3||4|7,43,21,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()(3)g x k x =-图象为恒过定点(3,0)P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数(),y f x =()y g x =图象， 其中2,PB k = (4,7)A -，1PA k ∴=-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围应该为12k -<≤．考点：同系数绝对值不等式相加型、 数形结合在含参绝对值不等式中的应用7.证明不等式的基本方法7.1比较法证明不等式13. 设不等式|21|1x -<的解集是M ，,a b M ∈．（1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max 表示数集A 的最大数．22h=求证： 2.h ≥ 答案：（1）1;ab a b +>+（2）见解析 解析：（1）先解出{}|01.M x x =<<(1)()(1)(1)0ab a b a b +-+=-->.问题得证.（2）22h= 可知22h h h≥≥≥, 所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出38h ≥. 故2h ≥.考点：比较法证明不等式7.2综合法证明不等式7.3分析法证明不等式14. 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M . （1）求M ；（2）当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.（1）解不等式：114x x ++-< ；124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-，⇒22x -<<⇒()2,2M =-.（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++， 只需证明222244160a b a b --+>， 即需证明22(4)(4)0a b -->2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a b a b a b ∈-⇒<<⇒-<-<⇒22(4)(4)0a b -->，所以原不等式成立. 考点：分析法证明不等式7.4反证法证明不等式15. 设0,0.a b >> 且11.a b a b+=+证明： （1）2a b +≥ ；（2）22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立. 由11=a ba b abab++=+，0,0.a b >> 得1ab =（1）由基本不等式及1ab = ，有2a b +≥= ，即2a b +≥； （2）假设22a a +<与22b b +<同时成立， 则由22a a +< 及0a > 得01a << ，同理01b << ，从而1ab < ，这与1ab = 矛盾， 故22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立.考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用8.5放缩法证明不等式(多为数列的题)16. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nnn a b a +=，记数列{}n b 的前n 和为n T ，证明：1032n n T -<-<．【答案】（1）21n n a =-；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）考虑到n n n S S a -=++11，因此可以利用条件中的式子得到数列}{n a 的一个递推公式，从而即可求解；（2）由（1）可知112121n n n n n a b a ++-==-，211222n n b +-=--，从而可证02n n T -<，进一步放缩可得211122223232n n n n+=<--+⋅⋅，求和即可得证. 试题解析：（1）∵2n n S a n =-，当1=n 时，1111211S a a a ==-⇒= ，又∵1121n n S a n ++=--，与2nn S a n =-两边分别相减得11221n n n a a a ++=--，得()1121n n a a ++=+，又∵112a +=，∴数列}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a +=，得21n n a =-；∵112121n n n n n a b a ++-==-，∴211222n n b +-=--，34211102222222n n n T +⎛⎫-=-+++< ⎪---⎝⎭，得02n n T -<，又∵211122223232n n n n+=<--+⋅⋅，∴2111123222n n n T ⎛⎫-=-+++⎪⎝⎭1113323n=-+>-⋅，∴1032n nT -<-<.9.柯西不等式9.1柯西不等式的代数形式17. 已知关于x的不等式x a b+<的解集为{|24}x x<< ()1求实数,a b的值；()2.()1由x a b+<，得b a x b a--<<-则24b ab a--=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b=-=()2=≤4===即1t=时等号成立，故min4 =.考点：柯西不等式的代数形式9.2一般形式的柯西不等式18. 已知函数()|2|,,f x m x m R=--∈且(2)0f x+≥的解集为[]1,1-,(1)求m 的值; (2)若,,,a b c R ∈且111,23m a b c++=求证239.a b c ++≥ (1)(2)0,f x m x x m +=-≥∴≤0,,(2)0m m x m f x ∴≥-≤≤∴+≥的解集是[]1,1-故1m =.(2)由(1)知1111,,,,23a b c R a b c++=∈ 由柯西不等式得211123(23)()239.a b c a b c a b c++=++++≥++=考点：一般的柯西不等式。