概率论与数理统计期末置信区间问题八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：设零件长度X 服从正态分布N (μ,1)。

求μ的置信度为的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：解：由于零件的长度服从正态分布,所以~(0,1)x U N =0.025{||}0.95P U u <=所以μ的置信区间为0.0250.025(x u x u -+ 经计算 91916ii x x===∑μ的置信度为的置信区间为 1133(6 1.96,6 1.96)-⨯+⨯ 即，八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (μ, ，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径μ的置信度为的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：解：由于滚珠的直径X 服从正态分布,所以~(0,1)x U N =0.025{||}0.95P U u <=所以μ的置信区间为：0.0250.025(x u x u -+ 经计算 919114.911ii x x===∑μ的置信度为的置信区间为(14.911 1.96 1.96-+ 即，八（3）、工厂生产一种零件,其口径X (单位:毫米)服从正态分布2(,)N μσ,现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:已知零件口径X 的标准差0.15σ=，求μ的置信度为的置信区间。

0.050.050.025((9)=2.262, (8)=2.306, 1.960 )t t U =已知：解：由于零件的口径服从正态分布,所以~(0,1)x U N =0.025{||}0.95P U u <=所以μ的置信区间为：0.0250.025(x u x u -+ 经计算 919114.9ii x x===∑μ 的置信度为的置信区间为 0.150.1533(14.9 1.96,14.9 1.96)-⨯+⨯ 即 ,八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S =3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差2σ的置信度为的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；因为炮口速度服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭2σ的置信度的置信区间为 8989,17.535 2.180⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭即()4.106,33.028八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：162.67, 4.20x cm s cm ==。

求该校女生身高方差2σ的置信度为的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；解：因为学生身高服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭2σ的置信度的置信区间为 228 4.28 4.2,17.535 2.180⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 即()8.048,64.734八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：16.10, 2.10x cm s cm ==。

设螺丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差2σ的置信度为的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((8)17.535, (8) 2.18(9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：；解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭2σ的置信度的置信区间为 228 2.108 2.10,17.5352.180⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 即()2.012,16.183八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值32.58x =，样本方差20.097S =。

假定该产品的尺寸X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ与μ均未知。

求2σ的置信度为的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((20)34.17, (20)9.591(19)32.852, (19)8.907)χχχχ====已知：；解：由于该产品的尺寸服从正态分布，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(19)(19)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1),11n S n S n n χχ⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭2σ的置信度的置信区间为 190.097190.097,32.8528.907⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ 即()0.056,0.207八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X 服从正态分布2(,)N μσ。

从中随机抽取9根，经计算得其标准差为。

求2σ的置信度为的置信区间。

（22220.0250.9750.0250.975(9)19.023, (9) 2.7(8)17.535, (8) 2.180χχχχ====已知：，） 解：由于抗拉强度服从正态分布所以，222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(8)(8)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1)(,)11n S n S n n χχ----2σ的置信度为的置信区间为2288.06988.069,17.535 2.180⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，即 ()29.705,238.931八（9）、设总体X ～2(,)N μσ，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差20.07S =，试求总体方差的置信度为的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((16)28.845, (16) 6.908(15)27.488, (15) 6.262)χχχχ====已知：；解：由于 X ～()2,N μσ，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(15)(15)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1)(,)11n S n S n n χχ----2σ的置信度的置信区间为 150.07150.07,27.4886.262⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.038,0.168八（10）、某岩石密度的测量误差X 服从正态分布2(,)N μσ，取样本观测值16个，得样本方差20.04S =，试求2σ的置信度为95%的置信区间。

22220.0250.9750.0250.975((16)28.845, (16) 6.908(15)27.488, (15) 6.262)χχχχ====已知：；解：由于 X ~()2,N μσ，所以222(1)~(1)n S W n χσ-=- 220.0250.975{(15)(15)}0.95P W χχ≤≤=2σ的置信区间为：()()22220.0250.975(1)(1)(,)11n S n S n n χχ----2σ的置信度的置信区间为：150.04150.04,27.488 6.262⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭即()0.022,0.096拒绝域问题九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得1021287.5, ()160.5i i x x x ==-=∑。

假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平0.1α=下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为1622220.050.950.050.95((10)18.31, (10) 3.94; (9)16.9, (9) 3.33)χχχχ====已知：解：待检验的假设是 20:16H σ= 选择统计量 22(1)n S W σ-=在0H 成立时 2~(9)W χ220.050.95{(9)(9)}0.90P W χχ>>=取拒绝域w ={16.92, 3.33W W ><} 由样本数据知2(1)160.5n S -= 160.510.0316W == 16.9210.03 3.33>> 接受0H ，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为。

在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为。

试问在显著水平0.05α=下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异22220.0250.9750.0250.975((10)20.48, (10) 3.25, (9)19.02, (9) 2.7)χχχχ====已知：解：待检验的假设是 20:0.03H σ= 选择统计量 22(1)n S W σ-=在0H 成立时 2~(9)W χ220.0250.975{(9)(9)}0.95P W χχ>>=取拒绝域w ={19.023, 2.700W W ><}由样本数据知 22(1)90.037511.250.03n S W σ-⨯===19.02311.25 2.700>>接受0H ，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布2(,0.9)N μ，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=。

问在显著水平0.1α=下，该批产品的标准差是否有显著差异22220.050.950.050.95((19)30.14, (19)10.12(20)31.41, (20)10.85)χχχχ====已知：；解：待检验的假设是 0:0.9H σ= 选择统计量 22(1)n S W σ-=在0H 成立时 2~(19)W χ220.050.95{(19)(19)}0.90P W χχ>>=取拒绝域w ={30.114,10.117W W ><}由样本数据知 2222(1)19 1.233.7780.9n S W σ-⨯=== 33.77830.114> 拒绝0H ，即认为这批产品的标准差有显著差异。