数学建模训练题1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。

同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。

第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。

（1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。

（2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。

试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。

面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。

通常水泵每天供水一两次，每次约3h.水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。

按照设计。

水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。

下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。

表1 水位测量记录（符号//表示水泵启动）3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。

除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。

该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。

请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。

试根据实际情况进行推广和评价。

4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。

设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。

5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。

伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用3C 为200元。

r 2 2.5 3 3.5 4 C1651703506601000降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。

为了确定阻力系数，用的半径3r m =，载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。

t(s)0 36 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500470425372317264215160108551试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

6、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒7、空气通过盛有CO 2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO 2的量与CO 2的百分浓度及吸收层厚度成正比。

今有CO 2含量为8％的空气，通过厚度为10cm 的吸收层后，其CO 2含量为2％。

问：（1）若通过的吸收层厚度为30cm ，出口处空气中CO 2的含量是多少？ （2）若要使出口处空气中CO 2的含量为1％，其吸收层厚度应为多少？ 8、已知生产x 对汽车挡泥板的成本是2110)(x x C ++=（美元），每对的售价为5美元。

（1）出售x ＋1对比出售x 对所产生的利润增长额为[][])()()1()1()(x C x R x C x R x I --+-+=当生产稳定、产量很大时，这个增长额为)(lim x I x +∞→，试求这个极限值；（2）生产了x 对汽车挡泥板时，每对的平均成本为xx C )(，同样当产品产量很大时，每对的成本大致是xx C x )(lim+∞→，试求这个极限值。

9、有n 个电动势为E 的电池，每个的内阻为r ，将它们以下述方式与已知的外电阻R 连接：分成s 个并联分支，m 是每个分支中串联的数目（如下图）。

问m 、s 的个数分别为多少时才能使R 中的有效电功率最大？m 个电池s 组10、在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。

根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条三次抛物线。

如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。

出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。

（1）若飞机从0x x =处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。

11、一飞机在离地面2km 的高度，以每小时200km 的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影。

试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度。

12、肺内压力的增加可以引起咳嗽，而肺内压力的增加伴随着气管半径的缩小。

试问：较小半径是促进还是阻碍空气在气管里的流动？13、如下图所示，在离水面高度为h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸。

假定绳长为l 米，船位于离岸壁s 米处。

试问：当收绳速度为）（s m v /0时，船的速度、加速度各是多少？14、一个企业有x 名技术工人和y 名非技术工人，每天可生产的产品产量为y x y x f 2),( （件）现有16名技术工人和32名非技术工人，而经理计划再雇用1名技术工人。

试求经理如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？15、在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d ，并且在地面处开了一个高为H 的小门。

现在要对水塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l （l >d ）的水管运到水塔内部。

试问水塔的门高H 为多少时，才能成功地把水管搬进水塔内？16、由实验知，某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时与当时已有的数量A 0成正比，即V ＝ k A 0（k > 0为比例常数），问经过时间t 以后细菌的数量是多少？已知一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的数据。

问：（1）开始时细菌个数是多少？ （2）如果继续以现在的速度增长下去，60天后细菌的个数是多少？ 17、某杂技团刻意求新，在海滨城市演出时，利用当地靠海的条件，设计了一个惊险节目：在离海边9米的沙滩上，建一个10米高台，高台下5米处放置一个弹性极佳的斜面（如下图），斜面与水平面成450角。

演员从高台上团身跳下，天 数细菌个数5 93610 2190经与斜面碰撞后将其弹到海里。

不知此方案是否可行。

18、越野赛在湖滨举行，场地情况如下图。

出发点在陆地A 处，终点在湖心岛B 处，A 、B 南北相距5km ，东西相距7km ，湖岸位于A 点南侧2km ，是一条东西走向的笔直长堤。

比赛中运动员可自行选择路线，但必须先从A 出发跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点B 。

已知运动员甲跑步到达长堤，再从长堤处下水游泳到达终点B 。

已知运动员甲跑步速度为h km v /181=，游泳速度为h km v /62=。

问他应该在长堤的何处下水才能使比赛所用时间最少？y 北 A （0,2）O R （x ,0） xB （7,-3） 湖19、一个工厂生产某种型号的车床，年产量为a 台，分若干批进行生产。

每批生产准备费为b 元。

设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。

设每年每台库存费为c 元。

显然，生产批量大则库存费高；生产批量小则批数增多，因此生产准备费高。

如何选择批量（经济批量），才能使一年中库存费与生产准备费之和最小？当年产量为1100台，每批生产准备费为0.2万元，每年每台库存费为0.1万元时，求出经济批量。

20、海洋公园有一个高为a 米的塑像（如下图），其底座高为b 米。

现有一身高为c米（从眼睛到地面高度）的游人观赏塑像，为了观赏时对塑像张成的夹角最大（即看得最清楚），游人应该站在离底座脚多远的地方？当a＝2.5m，b=3m，c=1.7m时，求最佳观赏位置。

21、本实验旨在使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式，并得出其求解结果，体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系，掌握建立数学模型的基本方法，并认识同一实际问题的数学模型的不唯一性，以认识模型之间的优缺点，从而体会，好的数学模型具有更广泛的适用性。

（二）实验要求：学生必须对本实验所提问题，至少用两种方法建立不同的数学模型，并上机计算出该总是问题所要求的相应答案。

（三）实验步骤：1、理解分析所提问题，并设定相应的数学符号。

2、分别提出所建模型的假设，并在相应假设下建立模型或作具体计算（含上机计算及算法分析）。

3、分析所建模型的简明性和可扩展性。

（四）问题详述：一批弹子锁具中每把锁均有5个槽，每个必须装且至多可装6个弹子，制锁工艺要求任两邻槽所装的弹子数相差不超过4个，问这批锁具共有多少把互不相同的锁？如果工艺还要求至少存在某邻槽的高度不同，问题的答案是什么？如果在前两项工艺要求下，每把锁均有30个槽，你的模型还适用吗？答案是多少？（五）实验总结：进一步强化学生对建立模型一般流程的理解和记忆，强调同一问题数学模型的多样性，并对本问题中同学所建的各种模型的优缺点进行评价。

22、物资配置问题（一）设置目的：本实验旨在训练学生建立较复杂问题的数学模型的能力，并理解最优化方法在解决实际问题中的重要作用。

（二）实验要求：1、建立所提问题的数学模型。

2、使用相关软件对模型求解。

3、分析所得方案的灵敏度并给出实际含义。

（三）问题详述：某电子仪器由3个串联的组件( j = 1, 2, 3 )构成, 因而有一个组件失效, 仪器即无法工作。