Xi
~ U (0.5,0.5), E( X i )

0

, D(Xi)

1 12

2
由独立同分布中心极限定理
1200
1200
X i ~ N (1200,1200 2 )
X i ~ N (0,100)
i 1
i 1
1200

1200

P Xi 12 1 P Xi 12
n
i 1
X i n L
即Yn

i 1

n
U (设U ~ N (0,1))
例1. 作加法时，对每个加数四舍五入取 整，各个加数的取整误差可以认为 是相互独立的，都服从( -0.5 , 0.5 )上 均匀分布。现在有1200个数相加， 问：取整误差总和的绝对值超过12的 概率是多少？
X i : 各个加数的取整误差,i 1,2,...,1200
独立同分布中心极限定理
设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限
数学期望和方差：E(Xi) =μ,D(Xi) =σ2，
i=1,2, …，则有
n
Xi n
lim P{ i1
x}
x
n
n
-
1 e-t2 2dt (x)
2
n
即，当n充分大时， Xi ~ N (n, n 2 )
要使1 1875 0.9,即, n 18750 n
(2)用二项分布中心极限定理估计,
nA ~ N(0.75n,0.1875n)
P0.74
nA n

0.76

P(0.74n

nA

0.76n)


0.76n 0.75n 0.1875n



0.74n 0.75n 0.1875n
X : 访问网站的用户数 A : 访问网站, A : 不访问网站, p P( A), q P( A)
那么, p 0.2, q 0.8, X ~ B(10000,0.2)
由二项分布中心极限定理
X ~ N(10000 0.2,10000 0.2 0.8),即X ~ N(2000,1600)
则以下正确的是
n
A. X i服从P()
i 1
n
B. X i近似服从N (n, n)
i 1
n
C. X i近似服从N (0,1)
i 1
n
D.
X i近似服从N (n, n2 )
i 1
补
设X ~ B(n,0.2),则当n充分大时, X近似服从 _________________
,
X
2
,...,
X
相互独立
n
Sn X1 X 2 ... X n ,则根据中心极限定理，
当n充分大时，S
近似服从正态分布，只要
n
随机变量X1, X 2 ,..., X n ( )
A. 有相同的数学期望
B. 有相同的方差
C. 服从同一指数分布
D. 服从同一离散型分布
补
设X1, X 2,..., X n独立同服从于P(), n充分大，
(1)P1900 X 2100 2100 2000 1900 2000
40 40
22.51 2 0.9938 1 0.9876
(2)PX 2100 1 2100 2000 1 0.9938 0.0062
那么, p 0.6, q 0.4, X ~ B(200,0.6)
由二项分布中心极限定理 X ~ N(200 0.6,200 0.6 0.4),即X ~ N(120,48)
设b是供给电的千瓦数
P0 X b b 120 0 120
48 48


2
n 1875


1
要使2
n 1875

1

0.9,即,

n 1875


0.95
查表得, n 1.6449 n 5073.8
1875
用切比雪夫不等式的估计比较粗略，而用 中心极限定理则能得到更为精确的估计。
补
(2002,
数一)设X1
nA : n次独立重复试验中事件A发生的次数
那么, nA ~ B(n,0.75)
(1)用切比雪夫不等式估计,
P 0.74

nA n

0.76

n)

P(| nA

E
(n
A
)
|
0.01n)

1

D(nA ) 0.0001n
2
1 1875 n
1
t2
e 2 dt (x)
n np(1 p)
2
即，当n充分大时, X ~ N (np, np(1 p))
即Yn
X np
L
U (设U ~ N (0,1))
np(1 p)
例2. 某互联网站有10000个相互独立的用 户，已知每个用户在平时任一时刻 访问网站的概率为0.2。求： (1)在任一时刻，有1900~2100个用 户访问该网站的概率； (2)在任一时刻，有2100个以上用户 访问该网站的概率。
i1

i1

1[21.21] 2 2 0.8849 0.2302
二项分布中心极限定理
设随机变量X为n次贝努利试验中事件A出
现的次数,p是每次试验中事件A发生的概率,
即X~B(n, p)(0<p<1)，则对任意x，有
lim P{ X np
x
x}
40
例3. 某车间有200台独立工作的车床，各 台车床开工的概率都是0.6，每台车 床开工时要耗电1千瓦。问供电所至 少要供给这车间多少千瓦电力，才能 以99.9%的概率保证这个车间不会因 为供电不足而影响生产。
X : 实际开工的车床数 A : 车床开工, A : 车床不开工, p P( A), q P( A)
b 120 17.32 b 120 0.999
48
48
查表得, b 120 3.0902 48
b 141.4095
例4. 设在独立重复试验序列中，每次试 验时事件A发生的概率为0.75，分别 用切比雪夫不等式和二项分布中心 极限定理估计试验次数n需多大，才 能使事件A发生的频率落在0.74~0.76 之间的概率至少为0.90。