比和比例
珞特色讲解]
【例 1] ★已知 3 : (x-1 ) =7:9，求 x . 【解析】x 47
【小试牛刀】某班的男、女生之比为 3:2，又来了 4名女生后，全班共有 44人。
求现在的男、女生
人数之比。
【解析】原有40人，男生有40X 3+ 5=24人，女生40-24=16人， 现在男女人数之比 24:20=6:5
【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。
甲的长与宽之比是 3:2，乙的长与宽之比是 7:3 ,
那么甲与乙的面积之比是多少？
【解析】长+宽相等。
甲的长：宽=6:4，乙的长：宽=7:3. 所以甲乙的面积比为(6 4):(7 3) 8: 7
【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液， 一个瓶中酒精与水的体积之比是
3:1 ,而另一个瓶中酒
精与水的体积之比是 4:1 ,若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？
【解析】两个瓶子体积相同。
第一个瓶子酒精 ：水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精：水=4:1=16:4 ,于是
混合后酒精：水=(15+16):(5+4)=31:9
【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为 7:5.如果每天卖白兰瓜 40个，西瓜50个，
若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩
36个。
问：水果店运来的西瓜有多少个？
【解析】卖的瓜的总数比为西瓜：白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜：白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个， 每份12个，所以原有西瓜 28X12=336个。
【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果， 所用费用之比为2:1 ,甲种糖果每千克 6元，乙种每千克 2元。
如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比-:1
2:3，平均价格为
6 2 2 3
3.6(元/千克)
3 1
2 3
【例5】★★甲乙二人共加工零件 400个，甲加工一个零件用 9分钟，乙加工一个零件用 15分钟。
完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？
400
100 【解析】工效之比 15:9=5:3，甲比乙多加工
5 3
(个)
【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用 40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲？ 【解析】甲乙速度之比 3:4，设乙x 分追上甲，贝U 甲用(5+x )分，3(5+x )=4x, x =15 【例6】★★甲走的路比乙多 1 ,乙用的时间却比甲多 -，则甲乙两人的速度比是多少 ？
3 4
【解析】甲乙路程之比是 4:3，甲乙时间之比是 4:5，所以甲乙速度之比是 5:3
【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是 4:5 ,如果甲、乙两人
同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。
相遇后继续前进，乙到达 A 地比甲到达B 地晚多少
分钟？
【解析】甲速：乙速=5:4.所以相遇时，甲与乙所行路程之比为 5:4。
40
40
（4 5） 40 32
（4 5） 40 50
相遇后，甲还要行5
分，乙还要行 4
分
所以乙到达 A 比甲到达B 晚18分钟。
【小试牛刀】甲乙两列车分别从 A 、B 两站同时相向开出，已知甲车速度与乙车速度之比为
3:2 , C
站在A,、B 之间。
甲、乙两列车到达 C 站的时间分别是上午 5点和下午3点。
问：甲、乙两车在几点 相遇？ 【解析】甲行驶到 C 点时乙行驶到 D 点，从D 到C,乙行驶了 12+3-5=10小时
2
甲乙在CD 中某点E 相遇，路程比为3:2，共5份，乙行5份用了 10小时，所以乙相遇用了 10三 4
5
小时，所以在上午（5+4=） 9点相遇 【例8】★★快、慢两列车的长分别是 150米，200米，它们相向行驶在平行轨道上，如果坐在慢车
上的人见快车驶过窗口的时间是
6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少秒？
【解析】设慢车驶过快车窗口所用的时间是 x 秒。
两车相对速度一样，路程与时间成正比，
所以有150:200=6: x,解得x =8
【小试牛刀】有甲、乙两辆汽车，在机场与售票处之间往返行驶。
甲车去时速度为 60千米/小时，
回来时速度为40千米/小时。
乙车往、返的速度都是 50千米/小时。
那么，甲、乙两车往返一次所
需的时间之比是多少？
1 1 1
解：设机场到售票处的距离为 1,两车所需时间之比为（一 ——）:（一 2） 25: 24
60 40 50
【例9】★★ ★一段公路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比是 1:2:3.某人走各段路程所 用的时间之比是 4:5:6，已知他上坡的速度为每小时 3千米，路程全长 50千米，那么此人走完全程 用了多少时间？ 【解析】上坡路程为 50
—类千米，上坡时间为类
1 2 3
3 3
25 4 “5 5
一 —10 —小时 915 12
【小试牛刀】如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转 圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
【解析】用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数.甲乙丙三个齿轮转数比为
5 : 7 : 2,根据齿数与转数成反比例的关系. 甲齿：乙齿=7 ： 5=14 ： 10, 乙齿：丙齿=2 : 7=10 ： 35,所以 甲齿：乙齿：丙齿=14 ： 10 ： 35
由于14, 10, 35三个数互质，且齿数需是自然数， 所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是
14, 10, 35
【例10】★★★某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是 10元。
某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是 轿车的通行费比大客车多
210元。
求这天三种车辆通过的数量。
【解析】大客车：小客车：小轿车=10:12:33
以10辆大客车，12辆小轿车，33辆小轿车为一组，每组中小轿车的通行费比大客车多 10 33 30 10 30 （元），所以这天通过的车辆共有
210 30 7组
25 .. …，、
3竺小时，全程时间为
9
5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2
15元,小轿车 4:11 ,收取小
:大客车30元，小客车 5:6 ,小客车与小轿车之比是
大客车10 7 70 （辆）小客车12 7 84 （辆）小轿车33 7 231 （辆）
1 【例11】★ ★★某供销公司将1200吨化肥售给甲、乙、丙三个乡使用，若甲乡分售的是乙乡的2」
6
1
倍，乙乡分售的是丙乡的11倍，则甲、乙、丙三个乡分别得多少吨化肥？
【解析】甲：乙：丙=21 11 : 11 : 1 13:6:5,于是有13+6+5=24份，每份1200 + 24=50吨，于是
6 5 5
甲分得13X 50=650 吨，乙6X 50=300 吨，丙5X 50=250 吨。
电家庭作业）
1 . 一个长方体，长与宽的比为2:1，宽与高的比为3:
2 ,则长与高的比为
【解析】3:1
2. 一个长方形与一个正方形的周长之比为6:5，长方形的长是宽的1^倍，则这个长方形与正方形
5
的面积之比为是多少？
【解析】长方形长：宽=7:5，正方形边长为（7 5）
5,面积比为（5 7）:（5 5） 7:5 6 2
3. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。
现有1825个零件需要加工。
如果规
定三人用同样的时间完成任务，那么，甲、乙、丙应分别加工多少个零件？
1 1 1
【解析】甲：乙：丙=一:——：一28: 24:21 , 28 + 24 + 21=73
3 3.5 4
甲加工700个，乙加工600个，丙加工525个
4. 一班和二班人数之比为8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数之比为
4:5。
求原来一班的人数。
【解析】原来，一班：二班=8:7=24:21
现在，一班：二班=4:5=20:25
一班减少24-20=4份，8人，可见1份为2人，于是原来一班有2X 24=48人。
也可以用方程解决。
5. 甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只.问：最后三人各分到多少只贝壳？
【解析】甲：乙=5:4，乙:丙=5:6，于是甲：乙：丙=25:20:24，所以甲50,乙40,丙48
e …e十…1 心 1 _ 十…
6. 甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的
一，等于乙所付钱数的一，等于丙所付钱数的
2 3
3
Y.已知丙比甲多付了120兀，那么这台电视机多少钱？
7
1 1 3 1
【解析】由题息，甲：乙=一：一2:3,甲：丙=—:一6:7，于是甲：乙：丙=6:9:7
3 2 7 2
所以，电视机120
7 6
2640（元）6 9 7
7. 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是 1 ： 2 ： 3,某人走各段路程所用的时间之比是 3 ： 4： 5。
已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？
解：平^60X—= 20 （千米），用时间20+5 = 4 （时），走完全程共用4+ ］只=12 （时）.
3 + 匕+5。