奶制品的生产与销售
问题重述
一加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲设备上用12小时生产成3公斤A1，或者在乙设备上用8小时加工成4公斤A2。

根据市场需求，生产的A1,A2全部可以销售出去。

每公斤A1可获利24元，每公斤A2获利16元。

现在加工厂每天可以有50桶牛奶，每天正式工人总劳动时间为480小时，且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有上限。

为该厂制定一个加工计划，使每天获利最大。

附加问题
1）如用35元买到一桶牛奶，是否作该项投资？若投资，每天至多购买多少桶牛奶？
2）如可以聘请临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多每小时几元？
3）由于市场需求变化，每公斤A1获利增加到30元，是否改变生产计划？
问题分析
这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1,用多少桶牛奶生产A2，决策受到3个条件的限制：原料的供应、劳动时间、甲类设备的加工能力。

按题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，可得到下面模型。

基本模型
变量符号的说明：
x1:每天生产A1的桶数
x2：每天生产A2的桶数
z ：每天的获利
目标函数：x1桶牛奶可生产3 x1公斤A1，获利24乘以3 x1，x2桶牛奶可生产34x2公斤A2，获利16乘以4 x2，故z=72 x1+64 x2。

约束条件：
原料的供应生产A1,A2两种奶制品的原料不可以超过每天的供应量，即x1+x2〈=50桶；
劳动时间生产A1,A2的总加工时间不得超过每天正式工人的工作时间，即12 x1+8x2〈=480小时；
设备能力A1的产量不得超过甲类设备每天的加工能力，即3 x1〈=100；
非负约束条件x1 ，x2均不能为负数，即x1 〉=0，x1〉=0。

综上可得
z=72 x1+64 x2 （1）
x1+x2〈=50 （2）
12 x1+8x2〈=480 （3）
3 x1〈=100 （4）
x1 〉=0，x1〉=0 （5）
这就是该问题的基本模型。

模型分析与假设
从上面我们知道，这是一个线性规划模型。

模型假设
1）A1，A2两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与它们各自产量无关的常数；
2）A1，A2两种奶制品每公斤的获利是与他们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出A1，A2的数量和所需的时间是与它们相互间产量无关的常数；3）加工A1，A2的牛奶的桶数可以是任意实数。

这三条假设保证了比例性，可加性，连续性的成立。

模型求解
图解法
这个线性规划模型的决策变量为2维，用图解法既简单又直观。

将约束条件（2）-（5）中不等号改为等号
z=72 x1+64 x2 （1）
x1+x2=50 （2）
12 x1+8x2=480 （3）
3 x1=100 （4）
x1 =0，x2=0 （5）
可知它们是O x1 x2平面上的5条直线，一次记为L1-L5，其中L4，L5分别是x2轴和x1轴，并且不难判断，（2）-（5）界定的可行域为oABCD.容易算出，5个顶点的坐标为O（0,0），A（0,50），B（20,30），C(100/3,10),D((100/3,0)。

目标函数（1）中的Z取不同值时，它表示一组平行线，可以看出，当着组平行线向右上方移动到过B点时，Z=3360，达到最大值，所以B点的坐标（20,30）即为最优解：x1 =20，x2=30
软件实现
我们用Lindo软件就可以实现。

结果显示x1=20,x2=30，最优解：z=3360，即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2，可以获得最大利润3360元。

结果分析
（1）3个约束条件的右边不妨看作是3种资源：原料，劳动时间，甲类设备的加工能力。

由结果知道原料与劳动时间的剩余为0，甲类设
备尚剩余40公斤加工能力。

一般称资源剩余为0的约束为紧约束（有
效约束）。

（2）目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的资源一旦增加，“效益”
必然跟着增长。

输出给出了3种“资源”在最优解下的“资源”增
加一个单位时“效益”的增量。

原料增加一个单位时利润增长48元，
劳动时间增加一个单位，利润增2元，而增加非紧约束甲类设备的
能力显然不会使利润增长。

这里，“效益”的增量可以看作是“资
源”的潜在价值，经济学上成为影子价格，即1桶牛奶的影子价格
为48元，1小时劳动的影子价格为2元，甲类设备的影子价格为零。

将输入中的原材料约束2）右端的50改为51，我们得到最优值利润是48元。

利用影子价格的概念，我们得到附加问题1）的结果：用35元一桶的价格买进牛奶，低于一桶牛奶的影子价格，当然应作这项
投资。

问题附加2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工
资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工人的工资最多
为每小时2元。

（3）目标函数的系数发生变化时，最有解和最优值会发生变化吗？从图看，目标函数的系数决定了等值线族的斜率，原题中该斜率为9/8，介于直线L1的斜率1与直线L2的斜率3/2之间，最优解自然在L1
与L2的交点处B取得。

并且，只要目标函数的系数变化使得等值
线族的斜率仍在（1,3/2）之间变化，这个最优解就不会变化。

而当
目标函数的系数变化使得等值线族的斜率小于1时，最优解在A点
取得，大于3/2时，最优解在C点取得。

在软件分析中，给出了最优解不变时目标函数的系数允许变化范围：x1的系数为（72-8,72+24），即（64,96）；x2的系数为
（64-16,64+8），即（48,72）。

（注：x1的系数允许变化范围需要x2
的系数为64不变为基础，反之亦然。

）
因此我们可以回答附加问题3)：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1的系数为30*3=90，在允许的范围内，所以不应改变生产
计划。

（4）对“资源”的影子价格最近一步分析。