绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合2{|430},{|24}A x x x B x x =-+<=<<,则A B =I（A ）（1，3） （B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）（2）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z = （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+（3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 （4）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o，则BD CD =u u u r u u u rg（A ）232a -（B ）234a -（C ）234a （D ）232a （5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是（A ）（-，4）（B ）（-，1）（C ）（1，4）（D ）（1，5）（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =（A ）3（B ）2（C ）-2（D ）-3（7）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB ===。

将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）（A ）4.56%（B ）13.59%（C ）27.18%（D ）31.74%（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35-（B ）32-或23- （C ）54-或45-（D ）43-或34-（10）设函数21,1,()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（A ）2[,1]3（B ）[0，1]（C ）2[,)3+∞（D ）[1,)+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++=； 0123377774C C C C +++=；……照此规律，当*n N ∈时，012121212121...n n n n n C C C C -----++++= .（12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .（13）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .（14）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B 。

若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____________三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()0,12Af a ==，求ABC ∆面积的最大值。

(17)(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点。

（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面,,ABC AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.（18）（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T . （19）（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:1,44x y E P a b+=为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求||||OQ OP 的值； （ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.（21）(本小题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈。

（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围。

参考答案一、选择题：（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）B（7）C（8）B（9）D（10）C二、填空题：（11）14n - （12）1 （13）116（14）32-（15）32三、解答题： 16.解：（Ⅰ）由题意知1cos(2)sin 22()22x x f x π++=- sin 21sin 222x x-=-1sin 22x =-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间是[,],()44k k k Z ππππ-++∈；单调递减区间是3[,],()44k k k Z ππππ++∈.（Ⅱ）由1()sin 022A f A =-=，得1sin 2A =,由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2212b c bc +=+≥，即2bc ≤，且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A +≤，所以ABC ∆面积的最大值为234+. 17.（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O =I ，连接OH在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =G 为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =， 所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点， 又H 为BC 的中点， 所以//OH BD ，又OH ⊂平面,FGH BD ⊄平面FGH ， 所以//BD 平面FGH证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,BH EF BH EF =， 所以四边形BHFE 为平行四边形， 可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB又GH HF H =I ，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点，由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此//DG FC 又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45,AB BC BAC G ⊥∠=o是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz - 所以(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,1)G B C D可得22(,,0),(0,2,1)22H F ， 故22(,,0),(0,2,1)22GH GF ==u u u r u u u r 设(,,)n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则由0,0,n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg 可得0,20.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2)n =-因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，(2,0,0)GB =u u u r，所以21cos ,2||||22GB n GB n GB n ===u u u ru u u r g u u u r g 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o解法二：作HM AC ⊥与点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥， 又FC AC C =I ， 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥， 所以MNH 即为所求的角 在BGC∆中，12//,22MH BG MH BG ==， 由GNM GCF ∆∆:， 可得MN GM FC GF=， 从而6MN =由HM ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD ， 得HM MN ⊥， 因此tan 3HMMNH MN∠==， 所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o18.解：（Ⅰ）因为233n n S =+所以1233a =+，故13a =，当1n >时，11233n n S --=+，此时1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=，所以13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，11133log 3(1)3n n n n b n ---==-g所以1113T b ==； 当1n >时，123...n n T b b b b =++++1211(1323...(1)3)3n n ---=+⨯+⨯++-⨯ 所以01231(1323...(1)3)nn T n --=+⨯+⨯++-⨯两式相减，得0122122(333...3)(1)33n n n T n ----=+++++--⨯ 111213(1)3313n n n ----=+--⨯- 1363623nn +=-⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯ 经检验，1n =时也适合 综上可得13631243n nn T +=-⨯ 19.解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为-1，0，1.因此38392(0)3C P X C ===，24391(1)14C P X C =-==，1211(1)114342P X ==--= 所以X 的分布列为 X0 -1 1 P 23 114 1142 则211140(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 20.解：（Ⅰ）由题意知24a =，则2a =又c a =222a c b -=， 可得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为221164x y += （ⅰ）设点00(,)P x y ，||||OQ OP λ=，由题意知00(,)Q x y λλ-- 因为220014x y +=， 又2200()()1164x y λλ--+=，即22200()144x y λ+=， 所以2λ=，即||2||OQ OP = （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+ ①则有21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++所以12x x -= 因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ， 所以OAB ∆的面积121||||2S m x x =-2|14m k =+== 设2214m t k =+ 将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0∆≥，可得2214m k ≤+② 由①②可知01t <≤，因此S ==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（ⅰ）知，ABQ ∆面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为21.解：（Ⅰ）由题意知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，2121()(21)11ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++， 令2()21,(1,)g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（1）当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，无极值点；（2）当0a >时，28(1)(98)a a a a a ∆=--=-， ①当809a <≤时，0∆≤，()0g x ≥， ()0f x '≥，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，0∆>， 设方程2210ax ax a +-+=的两根为1212,()x x x x <， 因为1212x x +=-， 所以1211,44x x <->- 由(1)10g -=>，可得1114x -<<-， 所以当1(1,)x x ∈-时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；当12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '<>，函数()f x 单调递减； 当2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点。