14：已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a+b= 3
2
-
15：在直角坐标系xoy 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交
于点O,A,B ，三角形OAB 的垂心是2C 的焦点，则1C 的离心率
32
三、解答题：本答题共6小题，共75分。
16：（12分）已知函数2()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
（1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边为a,b,c,已知
()0,12
A
f a ==，求三角形ABC 面积的最大值。
17：(12分)在三棱台DEF-ABC 中AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点，
（1） 求证：//BD FGH 面
(2)若CF B ⊥⊥∠︒面ABC,AB BC,CF=DE,AC=45,求平面FGH 与平面ACFD 所成的锐角的大小
18：（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足233n n S =+
（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log n
a n n a
b =，求数列{}n b 的前n 项和为n T
19：（12分）若n 是一个三位正整数，且个位数大于十位数，十位数大于百位数，则称n 为“三位递增数”（例“137,359，567，”等）
在某次趣味数学活动中，每位参赛者需从所有的“三位递增数中随机抽取一个数且只有一次，，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，则得零分；若能被5整除，且不能被10整除则得-1分；若能被10整除，则得1分； （1）写出所有个位数字为5的”三位递增数”；（2）若甲参加活动，求出甲得分X 的分布列及数学期望X E
20：(13分) 在直角坐标系xoy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
12,F F 分别为左
右焦点，以1F 为圆心，以3为半径的圆与以以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C
上（ⅰ）求椭圆C 的标准方程：
（ⅱ）设椭圆22
22E :1,44x y P a b
+=为椭圆C 上的任意一点，过P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，
射线PO 交椭圆E 于Q, 求
OQ OP
的值；（2）求三角形ABQ 面积的最大值。
21：（14分）设函数2()ln(1)(),()f x x a x x a R =++-∈ （ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （ⅱ）若0,f(x)0x ∀>≥成立，求实数a 的取值范围
数列{}n b 的前n 项和为n T =
1363
1243n
n +-
19：
（1）所有个位数字为5的”三位递增数”：125,135,145,235,245,345. （2）全部的“三位递增数”的个数为39
84C =
设随机变量X 的取值为：0，-1,132
843399211211
(X 0),(X 1),(X 1)1314
14342C C p p p C C ====-====--=
所以X 的分布列为
X 0 -1 1 p
23
114
1142
期望21114
0(1)13144221
X E =⨯+-⨯+⨯=
:20：法以设两圆的交点为M ，由题意得期望12122,3,124MF MF a MF MF a +===∴=Q
即a=1
，222
1c e c a b c b a ==
==+∴=Q Q 故椭圆22:14
x C y +=
法二：解设椭圆的左右焦点的坐标为12(,0),(,0)F c F c -
由题意得2
2
22
222()92()1
1(c)x x c y c x c y y c ⎧=⎪⎧++=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪⎩=--⎪⎩
即交点为222(,1())c c c --
因为22
222224313a c c a b c
a b c ⎧⎧=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨
⎪⎪==+⎩⎪⎩
因为交点为2
22(,1())c c c --在椭圆2222:1x y C a b
+=
所以
22
22222
()1()134133
c c c c c c --+=⇒=或234c =
将234
c =代入2
223
(2)241()1034
y c c -=--=-
<所以舍去 所以2
2
2
3,4,1c a b === 故椭圆2
2:14
x C y +=
（2） 椭圆22
E :1164
x y += ，设P 点00(,),x y ∴
220014x y += 设
OQ OP
λ=则
Q 00(,),x y λλ在22
E :1164
x y +=
即22
00()()12164
x y λλλ+=⇒=2OQ OP λ∴== 法二：当00x =时，(0,1),(0,2)2OQ P Q OP
±±∴
=
当00x ≠时,射线PO 的方程为22
22
00022
0002
20011644,414
p p x y x x y y y x y x x x y y x y ⎧+
=⎪⎪⎧=⎪⎪==⇒⎨⎨=⎪⎪⎩
⎪⎪+=
⎩2OQ OP ∴==
（3） 设A,B 两点分别1122(,),(x ,x y y ）因为点P 00(,)x y 在直线y kx m =+上
所以00y kx m =+
2
22221
(41)8+4404
x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
2222(8)4(41)(44)041km k m m k =-+-≥⇒≤+V 22
2221(41)8+4160164
x y k x kmx m y kx m ⎧+
=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
： 2
2
2
2
2
(8)4(41)(416)0164km k m m k
=-+->⇒<+V 21212228416
,4141
km m x x x x k k -+=-=
+
+12x x -=。