课题：2.4.2 反函数（2）
教学目的：
⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.
⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.
教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明，定理的应用；
教学难点：定理的证明（但教材不作要求）.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．反函数的定义；
2．互为反函数的两个函数)
(x
f
y=与)
(1x
f
y-
=间的关系：
----定义域、值域相反，对应法则互逆；
3．反函数的求法：一解、二换、三注明
4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于x轴的对称点'A(x,-y);
②点A(x,y)关于y轴的对称点'A(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴
的对称点'A(?,？);
5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系（在定义域、值域和对应法则方面）. 函
数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.
①)
(
2
3R
x
x
y∈
-
=的反函数是)
(
3
2
R
x
x
y∈
+
=
②)
(
3R
x
x
y∈
=的反函数是)
(
3R
x
x
y∈
=
)
(x
f
y=的图象和它的反函数)
(1x
f
y-
=的图象关于直线x
y=对称.
2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理）
证明：设M(a,b)是)
(x
f
y=
则当x=a时，)
(x
f有唯一的值b
a
f=
)
(.
∵)(x f y =有反函数)(1
x f y -=，
∴当x=b 时，)(1
x f
-有唯一的值a b f
=-)(1
，
即点'M (b,a)在反函数)(1
x f y -=的图象上.
若a=b ，则M ，'M 是直线y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若a ≠b ，在直线y=x 上任意取一点P(c,c)，连结PM ，P 'M ，M 'M 由两点间的距离公式得：
PM=22)()(c b c a -+-,P 'M =22)()(c a c b -+-， ∴PM=P 'M . ∴直线y=x 是线段M 'M 的垂直平分线， ∴点M,'M 关于直线y=x 对称.
∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点，
∴)(x f y =图象上任意一点关于直线y=x 的对称点都在它的反函数)(1
x f
y -=的图象上，由
)(x f y =与)(1x f y -=互为反函数可知，
函数)(1
x f y -=图象上任意一点关于直线y=x 的对称点也都在它的反函数)(x f y =的图象上， ∴函数)(x f y =与)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.
3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像
若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1
x f y -=的图象可以由)(x f y =的图
象关于直线y=x 对称而得到；
⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同 三、讲解例题：
例1．求函数)0(2
<=x x y 的反函数,象.
解：∵原函数的定义域是x<0，值域是y>0, ∴由y=2
x 解出y x -=, ∴函数)0(2
<=x x
y 的反函数是)0(>-=x x y ,
作y=2
x (x ∈(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线y=x 的对称曲线，即为函数)0(>-=x x
y 的
图象（如图）.
例2．求函数2
38
5-+=
x x y 的值域．
分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.
解：∵2
385-+=
x x y ∴5382-+=y y x ∴y ≠35
∴函数的值域为{y|y ≠3
5} 例3 已知)(x f =
2
11x
-(x<-1)，求)31(1
--f ； 解法1：⑴令)(x f =y=2
11x -，∴2
x
=y y 1---①，∵x<-1，∴x=-y y 1-;⑵∵x<-1，由①式知y y 1-≥1,∴y<0; ⑶∴)(1
x f
-= -
x
x 1
-(x<0)；⑷)3
1
(1
--f =-2. 分析：由y=)(x f 与y=)(1
x f -互为反函数的关系可知：当y=)(x f 中的x=a 时y=b ，则在y=)
(1
x f -中,当x=b 时y=a ，本题要求)31(1
--f
，设其为u ，说明在函数)(x f =y=2
11x
-(x<-1)中，当y=31
-时，x=u ，问题转化为知原来函数中的y=3
1
-而求x.
解法2：令2
11x
-=31-，变形得2
x =1+3=4，又∵x<-1，∴x=-2. 说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍
的效果.
四、练习：课本P63－64练习：5，6，7
补充：设函数y=)(x f 的反函数为y=)(x g ，求y=)(x f -的反函数.
解：在函数y=)(x f -中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=)(1
y f -,∴x=-)(1
y f
-，∴y=)
(x f -的反函数为y=-)(1
x f -，
又∵)(x g =)(1
x f
-,∴y=)(x f -的反函数为y=-)(x g .
五、小结本节课学习了以下内容：
1.互为反函数的函数图象间关系，
2.求一个函数的反函数图象的方法，
3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性
六、课后作业：课本P64习题2.4：2
答案与提示：2.y=)(1
x f
-=
2252
1
x -,x ∈[0,5]; 补充：⒈求下列函数的反函数： ⑴)3(32-≤-=
x x y ；⑵y=2x -6x+12(x ≤3);⑶y=2--x (x ≤-2).
⒉已知函数y=ax+2的反函数是y=3x+b ，求a,b 的值.
答案：⒈⑴y=-32+x (x ≥0); ⑵y=3-3-x (x ≥0);
⑶y=-2
x -2(x ≥0). ⒉a=3
1
,b=-6;. 七、板书设计（略） 八、课后记：。