第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00
教师 唐文 审核教师
授课课题 解函数解析式
一、 授课目的与考点分析：
1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。
3． 掌握反函数的性质，会求反函数。
二、
授课内容：
一：函数解析式的常用方法：
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。
说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成
229
3
x y -=±
的形式。
2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。
说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2
()f x ax bx c =++；顶点式：2
()()f x a x m n =-+；零点式：
12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。
3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例3. 已知2211
()x x x f x x +++=
，试求()f x 。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
变式：（1）已知,sin )cos 1(2
x x f =-求()2
x
f 的解析式
起航学校个性化辅导教案提纲
（2）若221
)1(x
x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____
4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例4. （1）已知21
()2()345
f x f x x x +=++，试求()f x ；
5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发，顺次经过C 、D 再到A 停止。
设x 表示P 行驶的路程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。
二：反函数
1.反函数定义：只有满足
x y ←−−→唯一
，函数)(x f y =才有反函数. 例如：2y x =无反函数.函数)(x f y =的
反函数记为)(1y f x -=，习惯上记为)(1x f y -=.
2．存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立。
例6.函数2
23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A 、(],1a ∈-∞
B 、[)2,a ∈+∞
C 、[1,2]a ∈
D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞
3.求反函数的步骤:①将)(x f y =看成关于x 的方程, 反求x 解出)(1y f x -=，若有两解，要注意解的选择；②将y x ,互换，得)(1
x f
y -=；③写出反函数的定义域（即)(x f y =的值域）。
例7.求函数 2
11x y --= （-1≤ x < 0）的反函数
变式：设)0()1()(2
>+=x x
x x f .求)(x f 的反函数)(1
x f -。
4.一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且()f a b =，那么a b f =-)(1. 这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图象上，那么点（a b ,）在函数)(1x f y -=的图象上. 例8. (1）设()1
2
4+-=x x
x f ，则()=-01
f
________.
(2). 若函数()y f x =的图象经过)1,0(-，那么(4)y f x =+的反函数图象经过点( ) (A))1,4(-
(B))4,1(--
(C))1,4(--
(D))4,1(-
变式：若点)4
1,2(既在函数b
ax y +=2
的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__，b =___
5. 反函数的性质：
⑴反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。
⑵设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y . 如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数1()y f x -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。
（3）在同一坐标系，函数)(x f y =与它的反函数)(1
x f
y -=的图象关于x y =对称. 注意函数()y f x =的图象与
1()x f y -=的图象相同。
例9.（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_______
（答：（1,3））；
（2）已知函数1
3
2)(-+=x x x f ，若函数()y g x =与)1(1
+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求(3)g 的
值
三：分段函数的概念
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函
数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
如 1．求分段函数的定义域和值域
例9．求函数12
22[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-⎧⎪
=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定义域、值域.
1
1
o 32
2
-1
y x
-1
2．求分段函数的函数值
例10．（05年浙江理）已知函数2
|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .
3．求分段函数的最值
例11．求函数43(0)
()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
三、本次课后作业：
反函数及分段函数习题见附件
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字： 五、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 家长签字： 学习管理师签字：
起航学校教务处。