2019年高考模拟测试 数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．
如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A A 恰好发生k 次 的概率
),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k
k n n =-=- ．
棱柱的体积公式
Sh V =，
其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．
棱锥的体积公式
Sh V 3
1
=，
其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．
棱台的体积公式
)(3
1
2211S S S S h V ++=
， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高． 球的表面积公式 24R S π=，
其中R 表示球的半径． 球的体积公式
3
3
4R V π=
， 其中R 表示球的半径．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．集合}9,1,0,2{的真子集的个数是
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
2．双曲线14
22
=-y x 的渐近线方程是
A ．02=±y x
B ．02=±y x
C ．04=±y x
D ．04=±y x
3．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤-≥+,0,63,2y x y x y x 则y x +3的最小值等于
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．已知函数)(x f 满足17)4(=f ，设00)(y x f =，则“170=y ”是“40=x ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数x x x y 2cos )1ln(2⋅++=的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ． 6．已知函数)2
||,0()sin()(π
ϕωϕω≤
>+=x x f ，4
π
-
=x 为)(x f 的零点，4
π
=
x 为
)(x f y =图象的对称轴，且)(x f 在区间)3
,4(π
π上单调，则ω的最大值是
A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
7．设10<<p ，随机变量ξ的分布列是
则当p 在)4
3
,32(内增大时，
A ．)(ξE 减小，)(ξD 减小
B ．)(ξE 减小，)(ξD 增大
C ．)(ξE 增大，)(ξ
D 减小
D ．)(ξ
E 增大，)(ξD 增大
8．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，
21==AA BC ，点O E ,分别是线段BC C C ,1的中点，
A A F A 113
1
=
，分别记二面角E OB F --1，1B OE F --， O EB F --1的平面角为γβα,,，则下列结论正确的是
A ．αβγ>>
B ．γβα>>
C ．βγα>>
D ．βαγ>>
9．已知,,是平面内三个单位向量，若⊥，则|23||2|-+++的最小值
A ．29
B ．2329-
C ．3219-
D ．5
10．记递增数列}{n a 的前n 项和为n S ．若11=a ，99=a ，且对}{n a 中的任意两项i a 与
j a （91≤<≤j i ），其和j i a a +，或其积j i a a ，或其商
i
j a a 仍是该数列中的项，则
A ．36,395<>S a
B ．36,395>>S a
C ．36,396>>S a
D ．36,396<>S a
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．设i 为虚数单位，给定复数i
1)i 1(4+-=z ，则z 的虚部为 ▲ ，
=||z ▲ ．
12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ▲ ，表面积是 ▲ ．
F E O
A
B
C
1
A 1
B 1
C
13．已知c b a ,,分别为△ABC 的三边，若8,7,6===c b a ，则=C cos ▲ ， △A B C 的外接圆半径等于 ▲ ．
14．如图，将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个 小三角形， 将剩下的3个小正三角形，分别再从中间挖去一个小三角形，保留它们
的边，重复操作以上的做法，得到的集合为希尔宾斯基三角形．设n A 是前n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是前2次挖去的4个小三角形面积之和），则 =2A ▲ ，=n A ▲ ．
15．若6622106)1()1()1()12(++⋅⋅⋅+++++=+x a x a x a a x ，
则=++++++654321065432a a a a a a a ▲ ．
16．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，
申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是 ▲ ．（用数字作答）
（第12题）
正视图
侧视图
俯视图
17．如图，椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
Γb a b
y a
x 的离心率为e ，F 是Γ的右焦点，点P 是Γ上第
一象限内任意一点，)0(>=λλOP OQ ，0=⋅OP ，若e <λ，则e 的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18．（本题14分）
已知函数R ),3
π
sin()2πsin(3sin )(∈++++=x x x x x f ． （Ⅰ）求)2019(πf 的值；
（Ⅱ）若1)(=αf ，且πα<<0，求αcos 的值．
19．（本题14分）
如图，在矩形ABCD 中，4=AB ，3=AD ，点F E ,分别是线段BC DC ,的中点， 分别将△DAE 沿AE 折起，△CEF 沿EF 折起，使得C D ,重合于点G ，连结AF ． （Ⅰ）求证：平面⊥GEF 平面GAF ；
（Ⅱ）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值．
（第19题）
G
A
B
C
D E
F
20．（本题14分）
设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)N (121*+∈+=n S a n n （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1+n a 之间插入n 个实数，使得这2+n 个数依次组成公差为n d 的等差
数列，设数列}1
{
n
d 的前n 项和为n T ，求证：2<n T ．
21．（本题15分）
已知三点A Q P ,,在抛物线y x 4:2=Γ上．
（Ⅰ）当点A 的坐标为)1,2(时，若直线PQ 过点)4,2(-T ，求此时直线AP 与直线AQ
的斜率之积；
（Ⅱ）当AQ AP ⊥，且||||AQ AP =时，求△APQ 面积的最小值．
22．（本题15分）
已知函数x x x f 32e )(=． （Ⅰ）若0<x ，求证：9
1
)(<
x f ； （Ⅱ）若0>x ，恒有1ln 2)3()(+++≥x x k x f ，求实数k 的取值范围．
（第21题）。