的浓度不相同，浓度是时间和位置的函数C(x,t)，扩散发
生时不同位置的浓度梯度也不一样，扩散物质的通量也不
一样。 在某一dt的时间段，扩散通量是位置和时间的函数J(x,t)。
单向扩散体的微元体模型 在扩散棒中取两个垂直于 X 轴、 相距为dx的平面1， 2，其面积 均为 A ，两平面之间夹着一个 微小的体积元A· dx。
扩散与材料生产和使用中的物理过程有密切关系，例如：凝固、偏
析、均匀化退火、冷变形后的回复和再结晶、固态相变、化学热处
理、烧结、氧化、蠕变等等。 扩散：由构成物质的微粒(离子、原子、分子)的热运动而产生的 物质迁移现象称为扩散。扩散的宏观表现是物质的定向输送。
扩散的分类
（1）根据有无浓度变化
x xM

dC d x M C
C2
C1
xM dC 0
1 dxM C D(C ) C1 xM dC 2t dC C
C2
A1
A
C CM
C1
B
0M 0
xMLeabharlann 适用条件: 非稳态扩散: C/t≠0 或 J/x≠0
三、扩散方程的应用
1、稳态扩散
•一厚度为d的薄板的扩散
板内任一处的浓度??
•贮氢容器 氢在金属中扩散极快，当温度较高、压强较大 时，用金属容器储存H2极易渗漏。 (1)列出稳态下金属容器中的H2通过器壁扩散的 第一方程
(2)说明方程的含义
扩
概述
散
• §1 菲克定律及应用 • §2 扩散热力学理论
• §3 扩散原子理论
• §4 代位扩散（置换扩散） • §5 短路扩散 • §6 反应扩散 • §7 影响扩散系数的因素
概
扩散现象：
述
在房间的某处打开一瓶香水，慢慢在其他地方可以闻到香味. 在清水中滴入一滴墨水，在静止的状态下可以看到它慢慢的扩散。 在固体材料中也存在扩散，并且它是固体中物质传输的唯一方式。
C
dC C1 xdC t C1 d( D dx )
C C
dC dC dC D D D C1 xdC dx C dx C1 dx C
by boundary condition
=0
1 dx C D xdC 2t dC C C1
5、无限长棒扩散方程的误差函数解
解
为：
利用高斯误差函数
一维无限长棒中扩散 方程误差函数解：
请注意：x=0时，C(x,t)=?
6、扩散方程的误差函数解应用
例1：有一20钢齿轮气体渗碳，炉温为927℃，炉气氛使工件表面含碳 量维持在0.9％C,这时碳在铁中的扩散系数为D＝1.28x10－11m2s-1,试计 算为使距表面0.5mm处含碳量达到0.4%C所需要的时间?
解：根据题意，可以用半无限长棒的扩散来解 ：
例2：上例中处理条件不变，把碳含量达到0.4％C处到表面的距离作为渗层
深度，推出渗层深度与处理时间之间的关系，层深达到1.0mm则需多少时间?
解：因为处理条件不变
在温度相同时，扩散系数也相同， 因此渗层深度与处理时间之间的关系：
因为x2/x1= 2，所以t2/t1= 4，这时的时间为
③尺寸：b↑
2、非稳态扩散
扩散方程在渗碳过程中的应用 钢的渗碳是将钢（低碳钢，成分为CO）置于具有足够
碳势的介质中加热到奥氏体状态并保温，在表面与心 部间形成一个碳浓度梯度层的处理工艺。
为了分析渗碳过程，可将渗碳工件简化为一根碳浓 度为C0的半无限长钢棒
Fe-Fe3C 相 图 左 下 角 及 渗 碳 层 中的碳浓度（质量分数）分布
Cx - 距表面x处的浓度
三、铸锭的均匀化处理
均匀化退火时溶质浓 度分布示意图如下：
铸锭枝晶偏析及均匀化 退火时的溶质浓度分布变化
设溶质浓度沿 x方向为正弦曲线分布， 周期为 2π, 则曲线上任一点 (x) 的初 始浓度C可表示为：
扩散过程的初始条件为
由扩散第二方程，可求得其正弦解为
上式表明，均匀化扩散过程中正弦曲线峰值的衰减情况。若用 表示枝晶偏析峰值衰减的程度
由质量平衡关系得： 输入物质量 - 输出物质量 = 积存物质量 若以单位时间计算，则 物质输入速率 - 物质输出速率 = 物质积存速率 积存速率
单向扩散体的微元体模型
若用体积浓度(c)的变化率表示积存速率，
则??
如果D是常数，上式可写为
三维情况，设在不同的方向扩散系数为相等的常数，
则扩散第二方程为：
自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。 (纯金属或固溶体的晶粒长大)(无浓度变化） 互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。 （有浓度变化）
（2）根据扩散方向
下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。
上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。
（3）根据是否出现新相
原子扩散：扩散过程中不出现新相。 反应扩散：有新相形成的扩散过程。
渗层中碳浓度（C）与渗层深度（x）及时间(t)有什么关系呢？
初始条件：t=0时,x≥0,C= C0 边界条件：t>0时,若x=0,则C= CS， 若x → ∞, 则C=C0 由此可求出第二方程的特解为
上式即为碳钢渗碳方程
若在脱碳气氛中，则脱碳层中距离表面x处的碳浓度
式中 C0 - 钢的原始浓度；
则上式可写为 影响衰减程度的主要因素是枝晶间距l0/2、D、t （减少偏析的措施？？课堂讨论）
四、扩散方程的误差函数解
1、半无限长棒中的扩散模型
实际意义？
低碳钢的渗碳处理，材料的原始含碳量为C0，热处理时外界条件保 证其表面的碳含量始终维持在CP(碳势)，经过一段时间后，求材料 的表面附近碳含量的情况。
为溶质原子的浓度梯度
D称为扩散系数，单位??
负号表示物质总是从浓度高处向浓度低的方向迁移
适用条件：稳态扩散(C/t=0)
菲克第一定律可直接用于处理稳态扩散问题，此
时浓度分布不随时间变化 (C/t=0) ，确定边界
条件后，按公式很容易求解。
二、菲克第二定律
当物质分布浓度随时间变化时，由于不同时间在不同位置
（4）按原子的扩散方向分：
体扩散：在晶粒内部进行的扩散
短路扩散：表面扩散、晶界扩散、位错扩散等 短路扩散的扩散速度比体扩散要快得多
§1
菲克定律
• 菲克第一定律
• 菲克第二定律
• 扩散方程的应用
• 扩散方程的误差函数解
一、菲克第一定律
菲克(A.Fick)在1855年总结出的，数学表达式为：
J为扩散通量。即：单位时间通过垂直于扩散方向的单位面积的扩 散物质通量，单位是
at t 0 C C1 C C2
for x 0 for x 0
2
x Let t
C dC x dC dC ( ) ( ) t d 2t t d 2t 2t d
3
4
C dC 1 dC 1 x d x t d t C d 1 dC 1 d dC (D ) (D ) （D ） x x d d t d x t d
2、无限长棒中的扩散模型
实际意义？
将溶质含量不同的两种材料焊接在一起，因为浓度不同，在焊接 处扩散进行后，溶质浓度随时间会发生相应的变化。
3、扩散方程的误差函数解
4、半无限长棒扩散方程的误差函数解
解为：
定义函数：
高斯误差函数
误差函数性质 一维半无限长棒中扩 散方程误差函数解：
高斯误差函数
put 4 and 5 in 1
( 5)
dC 1 d dC － (D ) 2t d t dt d
C 1 C dC C dC C d( D ) 1 2 1 d
For points in C-x curve, t = const
1 1 2 t
1 2t
0
b
C外
DdC DH k p内 - p外 b
C内
J DH
C外 -C内 b
单位面积由扩散造成的逸失量（逸失速度）
JA DH Ak
(2) 上式表明
P 外 内 P b
JA与DH 、A、k 成正比 与b成反比 随 P 内 增大
(3)减少逸失措施?? ①形状：A↓。使用球形容器，以使容积 一定条件下，A达最小 ②选材：利用DH、k值小的金属，如Dγ<Dα
34268s = 9.52hr
Concentration Dependence of D —— Matano Method
1、D-C dependence
2、Matano method
C C (D ) t x x
D D(C )
D
1
0 C
Determine D by C-x curve in geometrical method:
(3)提出减少氢扩散逸失的措施
(1) 令容器表面面积为A，壁厚为b，内外压强为P内 ，P外 氢在金属容器中的扩散系数为DH。 氢在金属中溶解度与其压强的平方根成正比，即
。
C内 = k
在稳态下
P 内 P 外
A
b
P外
C外 = k
DH
P内
dC Dx Jdx = -DdC J = -D
Jdx