20
11.4.1 化偏微分方程为特征方程
令 f v vw g (i J f )
v 2v w
(11.16)
ds (11.18) t s dt ds dt ＝f 或 (11.15) d dt ds 沿 v gh dt d (v 2 gh) v2 g (i 2 ) dt C R ds 沿 v gh dt d (v 2 gh) v2 g (i 2 ) dt C R
(11.21)和(11.23)式 分别表示非恒定流顺 (11.23) 波和逆波传播的绝对 for逆波（左传波）波速度
(11.22) (11.24)
21
11.4.1 化偏微分方程为特征方程
22
11.4.2 特征方程组的近似解法
沿
ds v gh dt d (v 2 gh) v2 g (i 2 ) dt C R ds 沿 v gh dt d (v 2 gh) v2 g (i 2 ) dt C R
zt 0 z 0 ( s ) 或 Qt 0 Q0 ( s )
ht 0 h0 ( s ) vt 0 v0 ( s )
18
11.3 初始条件及边界条件
二、边界条件
上游断面(第一边界条件)：起始断面的水位 或流量随时间的变化曲线，即水位过程线 或流量过程线，即zs=1=z(t)， 或Qs=1=Q(t) 。 右图为单一洪峰所形成的非恒定流流量过 程线。
第11章 明渠非恒定流
非恒定流：流场中任何点上有任何一个运动要素是 随时间而变化的，这种流动称为非恒定流。 明渠非恒定流：河、渠中的过水断面上的水力要素 如Q、v及z等随时间 t 不断变化的流动称为明渠 （槽）非恒定流。 研究目的：确定非恒定流过程中，明渠水流的u， h(或z，流量)等随 t 和 s 的变化规律。用于洪水预 1 报、溃坝防洪、水电站上下游动力渠道设计等。
7
11.2 明渠非恒定渐变流的基本方程式
一、连续性方程
( A) ( vA ) 0 t s
不可压缩流体，ρ
=const
(10.20)
Q=vA
A Q 0 t s
(11.3)
讨论：(1) Q / s 0
上
b a t2 t1 ds
A / t 0 Z 随 t 上涨，涨水波
(v 2vw ) (v 2vw ) (v v w ) g (i J f ) (11.14) t s (v 2vw ) ( v 2v w ) (v v w ) g (i J f ) (11.15) t s
(11.21) for顺波（右传波）
z ：水面坡度J，它代表单位重量液体的势能沿流程的变化率。 s
1 v g t v v g s
：波动坡度Jw，它代表(作用于单位重量液体上)当地加 速度所产生的惯性力沿单位流程所作的功。
：动能坡度Jv，它代表重量液体的动能沿流程的变化率
h f ：摩阻坡度Jf，它代表单位重量液体沿单位流程克服摩擦阻 s 力所作的功。
而Q K J
h f
z 1 v v v h f s g t g s s
Q2 2 s K
(11. 6)
z 1 v v v Q 2 2 0 s g t g s K
能量方程形式2
(11. 8)
14
z 1 v v v h f s g t g s s
11.1 明渠非恒定流的特性及波的分类
一、特性
1、水力要素如u、Q、A、Z或h等都是时间t和 位置s的函数，它是非恒定的非均匀流动。
v v( s, t ) A A( s, t )
Q（m3/s）
Q上 ~ t
Q Q( s, t ) z z ( s, t ) 或 h h( s, t )
(2)直接差分法
这种方法与上述特征线法不同之处在于它不是把基本 力程的特征线方程组化为差分方程，而是直接根据基本 方程组，以偏差商代答偏导数，化为相应的差分方程组， 结合初始条件和边界条件，进行数值求解。
17
11.3 初始条件及边界条件
一、初始条件
指初始时刻t=0时，全河段的水位(或水深)和流量(或流速)。
(11.21) (11.22) (11.23) (11.24)
for顺波（右传波）
for逆波（左传波）
23
11.4.2 特征方程组的近似解法
24
11.4.3 关于特征方程积分求解举例
25
11.4.3 关于特征方程积分求解举例
26
11.4.3 关于特征方程积分求解举例
27
11.4.3 关于特征方程积分求解举例
能量方程形式3
15
三、圣维南(Saint—Venant)方程组及其解法简述
连续性方程 能量方程 圣维南(Saint—Venant)方程组
A Q 0 t s
(11.3)
连续性方程
h v h h v 0 (11.5) t s s
z 1 v v v h f s g t g s s
下 b a 下
8
这说明在微分区间内如果 流进的流量多，流出的流 量少，区间内水位将随时 间而上涨，涨水波
上
11.2 明渠非恒定渐变流的基本方程式
一、连续性方程
( A) ( vA ) 0 t s
不可压缩流体，ρ
=const
(10.20)
Q=vA
A Q 0 t s
(11.3)
(11. 6)
如右图，若明渠渠底高程为z0，水深为h，底坡为i，水位为z， 则z=z0+h
z z0 h h i s s s s
(11. 6)
h v v 1 v iJf s g s g t (11.9)
h v v 1 v v2 i 2 (11.10) s g s g t C R
下游断面：分两种情况 （1）末尾断面水位流量关系曲线， zs=L=z(Qs=L) （2）末尾断面水位过程线或流量过程 线， zs=L=z(t)， 或 Qs=L=Q(t)
19
11.4 特征线法
11.4.1 化偏微分方程为特征方程
h v h h v 0 (11.5) t s s ( gh ) v ( gh ) gh v 0 t s s 2vw 2 vw v 2 v vw 2vwv w 0 t s s
4
11.1 明渠非恒定流的特性及波的分类
一、特性
4、明槽非恒定流的波动属于浅水波。
浅水波：当水深 h 与波长 l 之比小于1/2时，整个水体都 被波动所干扰，这种情况下的水波称为浅水波。
5
二、明渠非恒定流波的分类
1、根据波的传播方向分
顺(行)波： 顺水流方向传播的波 逆(行)波 逆水流方向传播的波
(10.20)
Q=vA
A Q 0 t s
(11.3)
A ( Av ) 0 t s
式(11-4)是明渠非 A v A A v 0 (11.4) 恒定流连续性方程 t s s 的另一种表达式
矩形断面明明渠，A=bh
h v h h v 0 t s s
不可压缩流体，ρ
=const
(10.20)
Q=vA
A Q 0 t s
(11.3)
(3) Q / s 0
A / t 0 Q 沿程不变，恒定流
10
11.2 明渠非恒定渐变流的基本方程式
一、连续性方程
( A) ( vA ) 0 t s
不可压缩流体，ρ
=const
2vw
将上两式分别相加、相减可得
(v 2vw ) (v 2vw ) (v v w ) g (i J f ) (11.14) t s (v 2vw ) ( v 2v w ) (v v w ) g (i J f ) (11.15) t s
2、根据水面涨落情况分
涨水波： 水面上涨 落水波： 水面下降
6
二、明渠非恒定波的分类
3、按水力要素随时间变化的急剧程度分 瞬时水面坡度极缓 连续波： 水力要素是 s 和 t 的连续函数
如，水电站调节所引起的恒定流属于此类。
不连续波： 瞬时水面坡度很陡，“阶梯” 水力要素随时间 t 剧烈改变 如，溃坝波
(11.5)
11
二、明渠非恒定渐变流的能量方程
一元非恒定渐变总流的能量方程
1 v p v2 (z ) 0 0 s g 2 g A g t
对于渐变的明槽非恒定流动：
①任一断面上的水面高程z就是测压管水头 z ②
00 代表单位重量液体在单位长度内水流的沿程损失，故 gA 2 0 0 h f 0 0 ds hw：能量损失 gA s 1 gA
(10.16)
p g

因此，式(10.16)可改写为
z 1 v v v h f s g t g s s
能量方程形式1
(11. 6)
12
适用条件：断面形状和尺寸沿程改变比较缓慢的非棱柱形明渠。
z 1 v v v h f s g t g s s
J J w Jv J f
13
dz d v 2 dhf ds ds 2 g ds
恒定流
z 1 v v v h f s g t g s s
(11. 6)
恒定均匀流
dz dhf Q2 Jf J 2 ds ds K
h v v 1 v iJf s g s g t (11.9)
( gh ) v v v g (i J f ) s s t vw v v v g (i J f ) (11.13) s s t