题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名:学院: 数学与统计学院专业: 数学与应用数学年级班级: 2011级1班指导教师: 刘伟2015年 5 月 31 日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。

同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。

本毕业论文内容不涉及国家机密。

论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用作者单位:数学与统计学院作者签名:2015 年5 月31 日目录摘要 (1)引言 (2)1．在一阶方程中的应用 (3)1.1变量分离方程 (3)1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3)1.3一阶线性方程 (7)1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8)1.5伯努利方程 (9)1.6黎卡提方程 (10)2．在n阶微分方程中的应用 (10)2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10)2.2 非齐次线性微分方程 (12)3．变系数齐次方程 (13)3.1尤拉方程 (13)3.2二阶变系数线性方程 (13)3.3三阶变系数微分方程 (14)结束语 (14)参考文献 (16)致谢 (17)变换法在求解常微分方程中的应用摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用.关键词：常微分方程；变量分离；变换法；Application of transform method in solving thedifferential equationAbstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations.Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method引言常微分方程是在解决实际问题的过程中产生的, 而在对它研究的过程中又促进了许多实际问题的研究,与此同时也对其他学科的发展也起到了十分积极的作用. 微分方程也在很多学科领域里中有着极其重要的应用,如化学中反应的稳定性问题, 飞机导弹飞行时飞行状态的稳定性问题, 电子装置的设计等等.这些问题都可以化成常微分方程的求解问题, 或者化为研究解的性质问题, 微分方程在实际问题中的背景广泛, 应用性强.在解决数学问题的过程中, 变换法的应用占有着重要的地位, 也是在数学的各个方面的转化运用能力的一种体现形式,本文以变换法为主线, 就一些典型的微分方程的变换法求解,对一阶常微分方程在[1-4]中给出了计算方法与类型, n阶常微分方程在[5-7]中涉及以及一些变系数常微分方程的变换法在[8-13]中给出初步的探讨, 灵活运用变换法达到更加简单直接的求解一些常微分方程的目的, 以帮助我们进一步的理解基本概念, 提高我们的理解能力、解题能力和把理论用于实践的能力.1 在一阶方程中的应用变换法在解微分方程中应用的实质是将我们不熟悉的微分方程通过变换法化为我们熟悉的，或者说是容易求解的微分方程，然后解出该方程, 最后将变量带回，以达到将一般的方法难以解出的方程简单的求解出的目的。

一阶常微分中许多方程的求解问题都可以转化为求解变量分离方程， 多种一阶微分方程都可通过变换法等方法， 最终转换成变量分离或者其它可求解类型的微分方程方程, 进而求出结果, 以下我们以可以转化为变量分离方程的微分方程为例子简单的阐述变量变换的应用.步骤：（1）通过变换法将方程转化成变量分离方程. （2）分离变量.（2）对方程两边同时积分, 整理通解. （3）根据初始条件来得到方程的特解. 1.1变量分离方程我们定义变量分离方程为形如)()(x g x f dxdy= 的微分方程为变量分离方程.运用变量分离的方法将原方程化为dx x f y g dy)()(= 的形式，然后将该方程左右两边进行积分，很容易就可以求解该方程，这是最基本的微分方程的类型，后面的许多其他类型我们最终也会通过适当的变换转化成该类型进行计算.1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： 形如)(xyf dx dy =，的方程称为齐次方程. 通过变换法引入新变量令xyu =或ux y =带入得 u x dxduu f +=)(， 整理一下变为xu u f dx du 1])([-=， 可看做变量分离方程，分离变量得xduu u f du =-)(.两端积分后得u ，再将xyu =带入即可得到齐次方程的解. 一些方程可以通过简单的变量代转化为齐次方程，然后在用解其次方程的方式即可求解. 例 方程满足)(222111zc y b x a c y b x a g dx dy ++++=, 的形式，由于系数的不同可以分成三种情况进行讨论，解题过程如下： （1）当021==c c 时，原方程即为)()(2211x y f xy b a x y b a g dx dy =++=, 为齐次方程,再令yxu =即为变量分离方程. （2）当21,c c 不全为零且2121b b a a =（即行列式02211=b a b a )时令λ==2121b ba a 则原方程可化为)())((22222122y b x a f c y b x a c y b x a g dx dy +=++++=λ()()(21x f c x c x g =++λ), 再令y b x a u 22+=易有dxdyb a dx du 22+=. 代入上式可得)(22u f b a dxdy+=, 即为变量分离方程计算依照前文所述即可得到结果.（3）当21,c c 不全为零且02121≠=b b a a （即行列式02121≠b b a a ）时联立方程组⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a不妨令其解为),(βα，由于21,c c 不全为0，所以0,0≠≠βα. 进行坐标变换令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X原式转化为)(22112211X Yf bYX a b Y X a Y b X a Y b X a dX dY =++=++=, 为齐次方程，利用分离变量的方法可以求解. 例1 解方程yx y x dx dy 2332++=. 解: 令xyu =(ux y =)代入可得 32)1(22+-=u u dx dy x , 分离变量，左右同时积分，化简可得)1()1(4+=-u c x u ，将原变量带回，易得到方程的通解)()(5x y c x y +=-.例2 解方程564432++++=y x y x dx dy 解: 令y x u 32+=带入可得52432+++=u u dx dy . 化简可得分离变量方程52227++=u u dx dy .分离变量左右两边积分，化简后得)27(14)722ln(9c x u u +-=+, 将y x u 32+=带回，可得到原方程的通解)233(14)72232ln(9c x y y x +-=++. 例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy 解: 由⎩⎨⎧=-+=-+08230732y x y x , 解得⎩⎨⎧==12y x , 作如下坐标变换:⎩⎨⎧-=-=12y Y x X 得⎩⎨⎧+=+=12Y y X x , 代回可得YX YX dX dY 2332++=, 左右积分后可得)()(5X Y c X Y +=-.代回原变量得原方程的通解)3()1(5-+=+-x y c x y .例4 解方程22342y x dxdyxy+=. 解: 左右同时除以xy 将它化做齐次型：)(23)(223422xy y x xy y x dx dy +=+=. 令xyv =，vx y =，dx dv x v dx dy +=，y x v =1, 带入得到v v dx dv xv 232+=+, 即vv v v dx dv x 24222+=+=.于是⎰⎰=+dx x dv v v 142,可得到c x v ln ln )4ln(2+=+,得x c v =+42即 x c xy =+422.3224kx x y =+∴（由于常数的任意性）.1.3一阶线性方程： 一阶线性方程)()(x q y x p dxdy=+ 其中)(x p ，)(x q 为已知函数, 0)(=x q 时为变量分离方程该方程通解为⎰=-dxx p ce y )(,当0)(≠x q 时用常数变异法作代换⎰=-dx x p e x c y )()(,代入原方程得⎰=-dx x p e x q dxx dc )()()(. 从中解出)(x c ，进而完成原方程求解，最后可求得其通解为：))(()()(c dx e x q e y dxx p dxx p +⎰⎰=⎰（这里的c 为任意常数）.例1 解方程yx dx dy +=1. 解: 令y x u +=所以11+=u dx du ，即uu dx du 1+=. 变量分离，有dx du u u=+1, 两端积分C x u u +=+-|1|ln .以y x u +=带入上式得到通解为0ln |1|ln =+++-C y x y .1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 1）1)(-=a a x xyf dx dy （a 为已知实数）形式的方程. 做变换a xyu =（a ux y =）带入得 11)(--=+a a ax u f aux x dxdu , 即为1))((--=x au u f dxdu, 是变量分离方程两边积分，最后变量带回便可. 2）形如)(xy f x y dx dy =，)(xy f x y dx dy =+，)(2xy f dxdy x =，形式的方程. 我们以最后一个为例，做变换xy u =（ux y =）有2xux dx du dx dy -=. 带入有u u f x dxdu +=)(3, 是变量分离方程接下来将两边积分，然后将变量带回即可得到这类方程的通解. 3）形如)()(xyf xg x y dx du +=形式的方程. 通过变量变换xyu =，代入可化为 )()(u f xx g dx du = 的形式,是变量分离方程，两边积分然后带回变量即可. 4)形如)(cz by ax f dxdy++=形式的方程： 通过变量变换cz by ax u ++=,可以化作变量分离方程,两边积分将原变量带回，即可得到方程的通解. 1.5伯努利方程 形如n y x q y x p dxdy)()(+=, )(),(x q x p 为关于x 的连续函数, ≠n 0, 1且是常数.应用变量代换的方式，对于0≠y , 将n y -乘至方程的左右两端可以得到方程)()(1x q x p y dxdyy n n+=--. 做变量变换：n y z -=1,带入易有dxdy y n dx dz n --=)1(, 将上式代入变形方程)()(1x q x p y dxdyy n n+=--. 可以得到)()1()()1(x q n z x p n dxdz-+-=, 是线性微分方程，可按前面面介绍的线性方程的求解方式得到通解.例1 求方程2xy xydx dy -=的通解 解: 这是2=n 时的伯努利方程左右同时乘以2-y ,再令1-=y z 易得dxdy y dx dz 2--=, 代入原方程得x z xdx dz +-=1, 是线性微分方程求得它的通解为C x z +=22.代回原变量y ，得到：C x z +=22（C 为任意常数）,得到了原方程的通解. 方程还有解0=y . 1.6黎卡提方程 形如)()()(2x r y x q y x p dxdy+=+ 的方程我们称之为黎卡提方程,在一般的情况下亦不能使用用初等积分法求解. 但若知道它的一个特解为)(1x y ,则能作求解, 先做变换)(1x y a y +=, 代入原方程, 可以转化为21)()]()()(2[z x P z x Q x y x P dxdz++= 的伯努利方程形式, 从而能对该形式的方程用初等积分法来求解.若方程满足m bx ay dx dy=+2（a,b,m 均为常数，且0≠a 时）的形式： 则当124--=k k m , 124+-k k, 0, 2-( ,2,1=k 时)可经过变量变换转化为可分离变量方程.2 在n 阶微分方程中的应用2.1 在n 阶非齐次线性微分方程： 形如)()()()(1111t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (),,2,1)((n i t a i =，)(t f 都为区间b t a ≤≤上的连续函数)的方程我们称之为n 阶非齐次线性微分方程.1)形如0),()1()(=-n n y y F 的形式的高阶方程：做变量代换令1-=n y z ，如果能从中解出n n y y f =-)(1，带入有则有z z f =)(.然后分离变量两侧积分可求出通解. 如果可以得到解),(1c x z ψ=，则有),(11c x y n ψ=-,接着进行1-n 次积分可求得通解.如果不能解出n y 则通过变量代换引进参数t 令)1()(-=n yt f , )()(n yt g =， )()()()1(t g dtt f y dy dx n n ==-,可以求出方程参数形式的通解.例1 求方程04455=-xdxyd dx y d 的解. 解: 令u dxyd =44，方程为01=-u xdx du ， 这是一阶方程. 积分后得cx u =,即cx dx ud =44, 继续积分于是：54233241c x c x c x c x c u ++++=(其中54321,,,,c c c c c 为任意常数).2)形如0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F 的形式：做变量代换)()(x f y k =, 带入可得到关于)(x f 的k n -阶方程,0))(),(),(,()('=-x f x f x f x F k n 若能求的方程的通解),()(C x q x f =, 将此解进行k 次积分就能得出原方程的通解. 3)形如0),,,()('=n y y y F 的形式：做变量代换)('y f y =则可以将方程转化为关于)(x f 的1-n 阶方程， 某些方程便能求出齐解, 热别是二阶方程),,('''y y y F 通过上述代换可以化为一阶方程, 然后利用一阶方程求解的方式来解决问题. 例2 求解方程0)(2'''=+x xx 解: 令y x ='，可得dxdyyx ='',于是可化为02=+y dxdyxy, 得0=y 或 0=+y dxdyx. 积分可得xc y =， 所以)2(1212c c c t c x =+=.为原方程的通解.2.2 非齐次线性微分方程我们讨论如下的n 阶非齐次线性微分方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- , 其中),,2,1)((n i t a i =及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数.例 1 求方程tx x cos 1'''=+的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为t t sin ,cos .解: 令t t c t t c x sin )(cos )(21+=, 将它代入方程， 则可得决定)('1t c 和)('2t c 的两个方程：0)(sin )(cos '2'1=+t tc t tc ,tt tc t tc cos 1)(cos )(sin '2'1=+- 解得tt t c cos sin )('1-=，1)('2=t c , 由此有2211)(,cos ln )(γγ+=+=t t c t t c .于是原方程的通解为：t t t t t t x sin cos ln cos sin cos 21+++=γγ（其中21,γγ为任意常数）.3 变系数齐次方程如今关于高阶变系数线性微分方程我们不能找到其一般的解法，所以得到一般解法是很困难, 或许是不可能的, 因此, 以下只就二阶与三阶变系数线性方程进行研究. 3.1尤拉方程（0'1)1(11)(=+++--+y a xy a y x a y x n n n n n n ）（n a a a ,,21是常数）我们可以通过变量代换将t e x =带入, 就能将尤拉方程化成常系数其次微分方程,0'1)1(1)(=++++--y b y b y b y n n n n （n b b b ,,,21 为常数）求出该方程的解然后将变量带回即可.3.2二阶变系数线性方程：0)()('''=++y x q y x p y 其中)(),(x q x p 是关于x 的连续函数.令)()(x u x a y =()(x a 是关于x 的待定函数)则可以将该二阶变系数线性方程转化,如果最终需要转化为常数方程0''=+cu u 还需要满足的条件为c x p x p x q =--)(21)(41)('2是（c 为常数）. 例1 求0)41(2'''2=-++y x xy y x 的通解, 已知0''=+u u 的通解为x c x c u s i n c o s 21+=.解: 能将原方程转化为0)411(12'''=-++y xy x y , 则12141411)(21)(41)(222'2=+--=--xx x x p x p x q (为常数). 令xu dx x y 1)121exp(=-=⎰代入得0''=+u u , 易求出其通解x c x c u s i n c o s 21+=. 代回原变量y 得原方程的通解 xx c xx c y s i n c o s 21+=.3.3三阶变系数微分方程：0)1()1()(1)(320221222233=++++++y x a dx dy x x a dx yd x x a dx y d （0a 为常数）. 能使三阶变系数方程0)1()1()(1)(320221222233=++++++y x a dx dy x x a dx yd x x a dx y d , 作变换t x tan =化为常系数微分方程00122233=+++y a dt dy c dt y d c dt y d . 需要增加的条件是：⎩⎨⎧==+++=.6)(,226)(221221c x x a c x c x x a .例2 将方程0)1(1)1(6163222222233=++++++y x dx dy x x dx y d x x dx y d 化为常系数微分方程。