1 2 1 2 1 st L[ t 1(t )] t 1(t )e dt 3 2 2 s 0
4、指数函数

0
t
L[e ] e e dt e
at at st 0 0
( s a )
1 dt sa
5、正弦函数sint
st
1 jt L[sin t ] sin te dt (e e jt )e st dt 2j 0 0 1 1 1 [ ] 2 2 j s j s j s 2
五、拉普拉斯反变换
1 st L [ f (t )] F ( s ) e dt f (t ) 2j j
1
j
由F(s)求f(t)常用部分分式法
B( s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm F ( s) n A( s) s a1 s n1 an1 s an
f (t ) t 1(t )
t t 0 0 t<0
0

t
F ( s ) L[t1(t )]

st t 1 ( t ) e dt 0
t st 1 st 1 e |0 e dt 2 s s s 0
3、等加速度函数
f(t)
1 2 f (t ) t 1(t ) 2
还可以用如下方法求解
系统的特征方程为
s s 1 0
2
特征方根为
s1, 2 0.5 j0.866
C1e( 0.5 j 0.866)t C2e( 0.5 j 0.866)t
系统的特解为 uc(t)=1 齐次通解解为
系统的通解为 1 C1e( 0.5 j 0.866 )t C2e( 0.5 j 0.866 )t 用待定系数法即可求出C1、C2。
6、单位脉冲函数

f (t ) (t )
L[ (t )]
0 t 0 t=0


且
st

(t )dt 1
(t )e
0
dt
三、拉氏变换的积分下限问题
(t )0 型拉氏变换

(t )0
0

0
( t ) e dt 0
st
U c (s) 1 1 0.1s 0.2 2 2 s s 1 s s s 1 1 ( s 0.5) 0.5 0.75 2 s ( s 0.5) 2 0.75 0.75 ( s 0.5) 0.75 0.1( s 0.5) 1.95 0.75 2 ( s 0.5) 2 0.75 0.75 ( s 0.5) 0.75
或F(s) Ci i 1 s - s i
n
n
n C si t -1 -1 i L [F(s)] f(t) L [ ] Ci e i 1 s - s i i 1
C i lim(s - s i ) F(s)
s s i
例： 求 解： 求
F ( s)
F ( s)
2
( 1)
(0)
( 2 )
1 1 f (t )( dt ) ] 2 F ( s ) 2 f s s
n
( 1)
1 (0) f s
(0)
……
1 1 ( 1) 1 (n) L[ f (t )(dt) ] n F (s) n f (0) f (0) s s s n
拉氏反变换得
uc (t ) 1 e 0.5t sin 0.866t 0.6667e 0.5t cos0.866t 0.1e 0.5t sin 0.866t 2.2575 e 0.5t cos0.866t
uc (t ) 1 0.9e0.5t sin 0.866t 1.59e0.5t cos0.866t
于是
2 1 1 f (t ) L [ F ( s )] L [ ] L [ ] 2e t e 2t s 1 s2
1 1
六、线性定常微分方程的解
L R
[例3] L=1H，C＝1F，R＝1，且 电容上初始电压uc(0)=0.1V，初始电 流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V，求 电压uc(t)的变化规律。
j
二、几种典型函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数
f(t)
1 0
f (t ) 1(t )
1 t 0 0 t<0

t
1 st 1 F (s) L[1(t )] 1(t )e dt e |0 s s 0
st
二、几种典型函数的拉氏变换
2.单位斜坡函数
f(t)
四、拉氏变换的几个基本规则
4、终值定理
若函数 f(t) 的象函数为 F(s) ，且 F(s) 在 s 平面的右 半平面及除原点以外的虚轴上解析，则由终值
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
难点：F(s)在s平面的右半平面及除原点外的 虚轴上解析。意思是：F(s)的分母，令分母 等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴 上，即位于左半平面及原点上。

型拉氏变换
st 0 st st
( t ) e dt ( t ) e dt ( t ) e dt
0 0 0 st
(t )e dt 1
0
四、拉氏变换的几个基本规则
1、线性性质 设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)= L[f2(t)] ,a和b都是常数，则
由于
(0) uc
duc (t ) 1 1 i(t ) i(0) 0.1V dt t 0 C C t 0
将L，R，C， uc(0)，uc’(0)，代入得到
U r (s) 0.1s 0.2 U c (s) 2 s s 1 s2 s 1
由于Ur(s)=1/s，故有
存在，则称其为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变 换。
一、拉普拉斯变换的定义 2. 记作：F(s)或L［f(t)］
L[ f (t )] f (t )e st dt F ( s)
0

3. 拉氏反变换：
1 1 st L [ f (t )] F ( s ) e dt f (t ) 2j j
s3 ( s 1)(s 2)
的拉氏变换。
a a s3 1 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2
s3 a1 ( s 1) 2, ( s 1)(s 2) s 1 s3 a2 ( s 2) 1 ( s 1)(s 2) s 2
拉氏变换求解微分方程的一般步骤
考虑初始条件，对微分方程两边进行拉氏变换；
由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；
对输出量拉氏变换函数的表达式进行拉氏反变换。 课堂练习：P64 - 2-5(2)
作业： P70 2-5(选做一题)
L[af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
四、拉氏变换的几个基本规则
2、微分法则 设F(s)=L[f(t)] ，则
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0) dt
d f (t ) 2 L[ ] s F ( s) sf (0) f (0) 2 dt
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn )
B( s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm F ( s) A( s) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s n )
五、拉普拉斯反变换
1、A(s)=0无重根
Ci Cn C1 C2 F ( s) s s1 s s 2 s si s sn
……
2
d f (t ) L[ n ] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0) dt
n
四、拉氏变换的几ห้องสมุดไป่ตู้基本规则
3、积分法则 设F(s)=L[f(t)] ，则
L[
L[
t
0
1 1 f (t ) dt ] F ( s ) f s s
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
拉普拉斯变换的定义
几种典型信号的拉氏变换 拉氏变换的积分下限
拉氏变换的基本性质
拉氏反变换
微分方程的求解
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
一、拉普拉斯变换的定义 1、定义：函数f(t),t为变量。如下述线性积分


0
f (t )e st d t(s为复变量 j )
Ur(t)
i(t) C
Uc(t)
［解］系统微分方程为
方程两边拉氏变换得
d 2uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) dt 2 dt
(0)] RC[sU c (s) uc (0)] Uc (s) Ur (s) LC[s 2Uc (s) suc (0) uc