圆的方程练习题答案
A级基础演练
一、选择题
1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为
( )．A．－1 B．1 C．3 D．－3
解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－
1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 B
2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ( )．
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．
答案 B
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.
答案 D
4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )．
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析设P(x，y)，则由题意可得：2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.
答案 B
二、填空题
5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
解析 由中点坐标公式得AB 的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为
4－3
2
＋
2－1
2
＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2
＝2.
答案 (x －2)2
＋(y －4)2
＝2
6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．
解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.
答案
2
三、解答题
7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4a ，
3－a 2
＋－2－b 2
＝r 2
，
|a ＋b －1|
2＝r ，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r ＝
1－3
2
＋－4＋2
2
＝22，
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －4y －95＝0. 法二 由A (1,12)，B (7,10)， 得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，
则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.
同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝2，
即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝
1－12
＋2－12
2
＝10.
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝100.
8．(13分)已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①
又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40，
②
由①②解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40
P。