2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i 1+i z = （）( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =______A.9B.10C.12D.13 4.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)+g f -(1)=2，(1)+g f -(1)=4，则g (1)等于____ A.4 B.3 C.2 D.15.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为,a b . 若2sin a B ，则角A 等于______ A.3πB.4πC.6πD.12π6.函数()ln f x x =的图像与函数2()44g x x x =-+的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.37.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______A ．B.1 8.已知a,b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足|c --a b |=1,则|c |的最大值为________1- 1+ 2+9.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21，则ADAB=____A.12 B.14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则U ()A B = ð_____11.在平面直角坐标系x O y 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为_____12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a =1, b =2,则输出的a 的值为______13.若变量,x y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x y +的最大值为______14.设F 1，F 2是双曲线C ，22221x y a b-= (a >0, b >0)的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为___________.15.对于E={12100,,,a a a }的子集X={12,,,k i i i a a a },定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ,其中121k i i i x x a ==== ，其余项均为0，例如子集{23,a a }的“特征数列”为0，1，1，0，0，…,0(1) 子集{135,,a a a }的“特征数列”的前三项和等于 ;(2) 若E 的子集P 的“特征数列” 12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=, 1≤i ≤99;E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=， 1≤j ≤98，则P∩Q 的元素个数为_________.三、解答题；本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=-.(Ⅰ)求2()3f π的值； (Ⅱ)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合17.(本小题满分12分)如图2.在直棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AA 1=3，D 是BC 的中点，点E 在菱BB 1上运动．（I ） 证明：AD ⊥C 1E ；（II ） 当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱柱C 1-A 2B 1E 的体积．18.（本小题满分12分）某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。

根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：123451484542X Y这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;514845424Y 频数(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg 的概率.19.（本小题满分13分）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ∙=-11，∈n N *（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛n na ｝的前n 项和。

20.（本小题满分13分）已知1F ，2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。

（Ⅰ）求圆C 的方程；(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b 。

当ab 最大时，求直线l 的方程。

21.（本小题满分13分）已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<.参考答案一、选择题1．B 解： z = i·(1+i) = i – 1.所以对应点(-1,1).选B2．A 解： 若“1＜x ＜2”成立，则“x ＜2”成立,所以“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分条件； 若“x ＜2” 成立，则“1＜x ＜2”不一定成立, 所以“1＜x ＜2”不是“x ＜2”的必要条件. 综上，“1＜x ＜2”是“x ＜2”的充分不必要条件.选A3．D 解： 4,63::60:80:120,,==⇒=b a b a c b a 个样本，则抽取从甲乙丙三个车间依次 n = a + b + c=13. 选D4．B 解： 由题知f （－1）+g （1）= - f （1）+g （1）= 2,f （1）+g （－1）= f （1）+ g （1）= 4.上式相加，解得g(1) = 3 . 选B5．A 解： 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选A6．C 解： 在同一坐标系中画出对数函数f （x ）=㏑x 的图像和二次函数g （x ）=x 2-4x+4的图像，观察可知交点个数为2个。

选C7．D 解： 正方体的侧视图面积为.2..2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长⋅=选D8．C 解： .2|b a |向量，是b ,a =+∴单位 可以这样认为：在直角坐标系中,12||1|OF |F )0,2(E +≤⇒=EF 满足，动点定点选C9．D 解： ).3,1(,2,4∈=CP P CD 即的活动范围为由题中条件知，，根据对称性设4:7:.7344,3`22=∴=-===AB AD BC BF CP ，解得时当选D10． }862{，， 解： }86{)(}8,6{，，==⋂=B B A C A C U U .11．4解： 4//.2:,12:212121=⇒=-=+=a K K l l a x ay l y x l 则直线若直线直线直线. 12． 4解： a = a + b + b + b…… = 1+2+2+2+2=9. 13． 6解：.6)2,4().0,4(),3,0(2,532,4取最大值时所以当时点），，），（点（区域的顶点坐标分别是=+y x14．13+ 解： 12122,22,11211RT F F P c F F PF PF a PF PF ∆=====-=在设则，1c e a ⇒=== 15． （1） 2 （2）17 解： (1) 由题知，特征数列为：1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前3项和 = 2。

(2) P 的“特征数列”:1,0,1,0 … 1,0. 所以P = },,{99531a a a a . Q 的“特征数列”:1,0,0,1,0,0 …1,0,0,1. 所以Q = },,,{10097741a a a a a . 所以, {=⋂Q P },,971371a a a a ,共有17个元素。

16．解： (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以。

（2）由（1）知，)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：17．解： (Ⅰ) 11C CBB AD E 面为动点，所以需证因为⊥.AD BB ABC AD ABC BB C B A ABC ⊥⇒⊂⊥∴-11111,面且面是直棱柱AD BC BC D ABC RT ⊥∴∆的中点，为是等腰直角且又 ..1111111E C AD C CBB E C C CBB AD B BB BC ⊥⇒⊂⊥⇒=⋂面且面由上两点，且(证毕)（Ⅱ）660,//111111=∆⇒︒=∠∴AE E C A RT E C A A C CA 中，在 .的高是三棱锥是直棱柱中，在1111111111.2C B A E EB C B A ABC EB E B A RT -∴-=∆⇒ ..3232213131111111111111的体积为所以三棱锥E B A C EB S V V C B A C B A E E B A C -⋅=⋅⋅=⋅⋅==∆-- 18．解： (Ⅰ) 由图知，三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。