Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ）1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。

倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=⨯•b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为NN N N *)(332211Ω=⨯•b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。

由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。

也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。

因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。

2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。

若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。

不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。

3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022<∂∂kE其有效质量 0)/(*222<∂∂=k Em ；说明此时晶格对电子作负功，即电子要供给晶格能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子所作的功。

原因是：有效质量概括了晶格对电子的作用，因此有 mm m jgwai wai F F F +=* 将上式分子上变成能量的形式，则有 mdtm dt m dt jg wai wai v F v F v F •+•=•*能带顶部是能带的极小值的位置，所以 022>∂∂kE，晶格对电子作正功，有效质量大于零。

4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？[答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周期场中运动的特征表述晶体电子的特征。

第一步: 绝热近似（adiabatic approximation ）。

这是考虑到原子核的质量比电子大得多，运动速度慢，在讨论电子问题时可认为原子核是固定在瞬时的位置上，从而把多种粒子的多体问题化成多电子问题； 第二步：自洽场近似 (self-consistent field approximation)。

把要讨论的电子，视为在离子势场和其它电子的平均势场中运动，即哈特利－福克自洽场近似(Hartree-Fock self-consistent field approximation) ，把多电子问题简化为单电子问题；第三步：周期场近似 (periodic potential approximation)。

把所有离子势场和其它电子的平均势场简化为周期场。

能带理论就是周期场中的单电子理论.5、旺尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么？[答] 旺尼尔函数可以表示为紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体。

在这类晶体中的电子有两大特点：（1）电子被束缚在原子附近的几率较大，在原子附近它的行为同孤立原子的行为相近。

（2）它远离原子的几率很小。

再利用旺尼尔函数的正交性，即可得到旺尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的。

6、紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？［答］紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，外层电子的能带比内层电子的能带宽。

由于能量最低的带对应于最内层的电子，它的电子轨道很小，在不同原子间很少相互重叠，因此，能带较窄。

能量较高的外层电子轨道，在不同的原子间将有较多的重叠。

从而形成较宽的带。

而且内层电子，能带宽度较小，能级与能带之间一一对应；外层电子，能带较宽能级与能带之间的对应比较复杂。

8、能态密度函数是如何定义的？［答］能态密度函数是指单位能量间隔的状态数。

考虑能量在 E —E ＋ΔE 间的能态数目，假定ΔZ 表示能态数目，则能态密度函数定义为在波矢空间，根据 E(k)＝常数 作出等能面，则在等能面E 和E ＋ΔE 之间的状态的数目就是ΔZ 。

所以ΔZ ＝［V ／（2π）3］（两等能面E —E+ΔE 之间的体积） 得到能态密度的一般表达式为9、简约布里渊区、周期布里渊区以及扩展布里渊区的图象有什么区别？［答］三种图象表示的差别为：简约布里渊区图象(reduced zone scheme)：所有能带都描绘于第一布里渊区内，能带是nki kn n neNW ψR k R r •-∑=-1)(),(1)(r k Rr k u e Nn i k-•∑=EZ E N ∆∆=lim)(⎰∇=||4)(3E dSV E N k π波矢k 的多值函数，在简约区给出能带的全貌。

周期布里渊区图象(repeated zone scheme)：在每一个布里渊区中描绘出所有的能带。

可以表现出能带是周期函数的特点。

扩展布里渊区图象(extended zone scheme)：按照能量由低到高的顺序，将各能带的k 值分别限定在不同不同的布里渊区的区域。

这种情况下，能带是k 的单值函数。

10、晶体中能带 En(k ) 函数的对称性有哪些？ ［答］晶体中能带En(k)函数的对称性有 En ( k )=En(αk ) En(k )=En(-k ) En(k )=En (k ＋Gn )二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达)1、在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区域的波函数，则这个假想的势能就叫做 赝势（pseudo-potential ）。

2、Wannier 函数有两个特点，它们分别是 定域性 和 正交性 。

3、电子填充能带时，若恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的。

最高的满带称为价带(valence band)，最低的空带成为 导带(conduction band) 。

带隙是指 价带最高能级与导带最低能级之间的范围 。

4、在状态空间中，单位体积含有的状态数，称为 状态密度 。

在状态空间中，状态的分布是均匀的，在周期性边界条件的情况下，状态密度＝ 3)2(πV。

三、电子周期场的势能函数为 ，当na-b ≤x ≤na+b ，当(n-1)a+b ≤x ≤na-b其中a=4b ,ω为常数1）试画出此势能曲线，并求其平均值。

2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一辑第二个带隙宽度。

[解] 1）如图所示是势能曲线⎩⎨⎧--=0])([)2/1()(222na x b m x V ω由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得2) 已知禁带的宽度为 Eg=2|Vn|,其中Vn 是周期势场V(X) 付里叶级数的系数，该系数表示为所以，第一禁带为同样可以求得第二禁带宽度为四、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为Na 。

1）用紧束缚方法求出与原子s 态能级对应的能带的E(k) 函数； 2）求出其能态密度函数的表达式；3）如每个原子s 态上只有一个电子，求T=0K 时的费米能级E F 0及E F 0 处的能态密度。

［解］1、在紧束缚近似下，晶体电子的能量可以写为一维单原子链只有两个最近邻，分别为R m =a,-a ，a 为原子间距。

J(Rm) 对于两个最近邻是相等的，记为J ，所以，2）能态密度的函数表达式:对于一维情况,状态密度为L/2π,，计其自旋,dk 间的能级数为xdxx V b dx x V aV bba a )(41)(1222/2/⎰⎰--==b b bb x x b b m dx x b m b ---=-=⎰|]31[8][2141322222ωω2261b m ω=|)(1|2||222/2/11dx e x V a V E nx ai a a g π--⎰==|][241|22222dx e x b m b x a i b b πω---=⎰3228πωbm =)0()(ika ika s e e J J k E +--=εkaJ J s cos 20--=εmi mn n i e J J k E R k R•-∑--=)()0()(..εdx e X V aV nx i a a n aπ2)(12/2/--⎰=2222πωb m E g =dk L dZ π22=而能态密度函数为3）如每个原子的s 态只有一个电子能态密度T=0K 的费米能级：五、1、证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一边中点大2倍。

2、对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多少？[证明]1、自由电子的动能为 mk 222简立方的第一布里渊区仍为简立方，设其边长为a ，则对角线的长度为3a ，布区顶角上的动能为 222214322a m m k E == 面心 k=a/2 ，222224122a m m k E == ka Ja dkdEsin 2=kaJa L dkdE L E N sin 2122)(ππ=⋅=dEdkdk dZ dE dZ E N ==)(mk E 2)(22 =k mkdk dE 2 =kLmk m L dkdE L E N 2222122)( πππ===E mL mE Lm k m L dk dE L E N 2222122)(22ππππ====N dE E mL dE E N F F E E ==⎰⎰2)(0000 π34/14/321==E E 2、顶角上 a k 22= 222234222a m m k E == 24/14/223==E E 六、用紧束缚方法导出体心立方晶体s 态电子的能带 )2cos 2cos 2(cos8)(0a k a k a k J A E k E z y x --= ， 并画出沿k x 方向)0(==z y k k )(),(x x k v k E 的曲线。

七、证明在任何能带中，波矢为k 的状态与波矢为－k 的状态有相同的能量，即 )()(k k -=n n E E这里)(k n E 代表简约布里渊区中第n 个能带的k 态波矢。

[证明]由于哈密顿量是实的，若ψk 是方程式的解，则ψk ＊也是方程的解，而且有相同的本征值，即 H ψnk =En(k)ψnkH ψ*nk =En(k)ψ*nk晶体中所以与ψn ，-k 是相同的。