4．1根据k a
π
=±
状态简并微扰结果。

求出与E +，E -对应的本征态波函数ψ+，ψ-，说
明它们都代表驻波，并比较两个电子云的分布（即2
ψ），说明能隙的来源。

假设*
n n V V =。

解：
简并微扰态：a
a
a b ππψψ
ψ-
=+ （1）
代入运动方程有：0*10
1()0
()0
a
a E E a V
b V a E E b ππ-⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩
（2） *11V V =，且00
a
a
E E ππ-=。

方程（2）有条件为：
0*
10
10a
a
E E V V E ππ
-
-=
2
201_0a E E V π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故1a
E E V π±=±。

利用归一化条件：2
2
1a b +=， 将E +代入（2）式得：a b =-=
； 将E -代入（2）式得：a b ==； 所以
00
00
)
)
a a
a a
ππ
ππ
ψψψ
ψψψ
+
-
-
-
=-
=+
又因为：
i x
a
a
i x
a
a
π
π
π
π
ψ
ψ
-
-
=
=
所以
sin()
cos()
x
a
x
a
π
ψ
π
ψ
+
-
=
=
即,
ψψ
+-
均表示驻波
2222
2,sin
x x
co
a a
ππ
ψψ
-+
⎛⎫⎛⎫
∝∝
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
电子云分布皆成周期性变化，二者差
2
π
位。

相E
a
π
±零的能量相等，由于周期势场的微扰，触及间的排斥作用，能级分裂，在不同的触带之间发现带隙。

4．2 写出一维近自由电子近似，第几个能带()
1,2,3
n=简约波数
2
k
a
π
=的0级波出数。

补：一维迈自由电子近似的零级波出数可写为：
(
)2
i mx
ikx ikx a
k
x e
π
ψ
⎡⎤
==⎥
⎦
k为简约波矢，n为能带1
m n
=-
2
k k m
a
π
=+已知
,0,1,2,
2
k m
a
π
==
第一能带，(
)
02
0,,
2
i x
a
x
m k k
a
π
π
ψ
====
第二能带(
)
3
02
23
1,,
22
i x
a
x
m k
a a a
π
πππ
ψ-
==-=-=
第三能带(
)
5
2
25
1,,
22
i x
a
x
m k
a a a
π
πππ
ψ-
==+==
4．3电子周期场的势能函数为
222
1[()],
()20(1)m b x na na b x na b V x n a b x na b ω⎧---≤≤+⎪=⎨⎪-+≤≤-⎩
其中4a b =，ω为常数。

（1） 试画出势能曲线，并求其平均值。

（2） 用近自由电子近似模型求出晶体的第一及第二带隙宽度。

解：（1）势能曲线如图：
22
35222
3411()0[()]426b b b b a b T
m b V x dx m b x na dx b ωω==⎡⎤∴=+--=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
（2）()V x 是以4b 为周期的周期函数，可定义()V x 在[2,2]b b -上，即取0n =。

222021
()()202b x b V x m b x b x b b x b ω≤<⎧
⎪∴=--≤<⎨⎪-≤<-⎩
()n iK x n n
V x V e =∑， 22n n K n a b
ππ
=
=
， 0
1()n a iK x
n V e V x dx a -∴=
⎰ 2222
22
0202222213022222222
01211()()4426214()4221()422b b b x
i b b
x
i b b
V V V x dx m b x dx m b b b m b V e m b x dx b m b V e m b x dx b ππωωωωπ
ωωπ---⋅===-==-==-=⎰⎰⎰⎰ 第一禁带宽度22
13
82m b V ωπ=
，第二禁带宽度22
22
2m b V ωπ=。

22222233
22(cos sin )816n m a n b m a n b V n a n a
ωπωπππ=-+。

4．4用金束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带()s E k 函数。

解：已知紧束缚近似能带结构函数表示式： ()()s
s ik R s s o s
R nn
E k J J R e
ε-⋅==--
∑， 其中s R nn =代表最近邻。

s 态波函数为球对称的，故1()s J J R =。

（1） 对于面心立方结构，最近邻的12个原子坐标为：
(,,0)22a a ±±，(,0,)22a a ±±，(0,,)22
a a ±±。

则
()()()()()()()()2
2
2
2
2
2
2
2
01()[x y x y x y x y y z y z y z y z a
a
a
a
a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k i k k i k k i k k i k k s s E k J J e
e
e
e
e
e
e
e
ε+--+--+--+--=--+++++++ ()()()()2
2
2
2
]z x z x z x z x a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e e
e
e
+--+--++++
0014[cos cos cos cos cos cos ]222222
y y x x z z k a k a k a k a k a k a
J J ε=--++
（2） 对于体心立方结构，最近邻的8个原子坐标为(,,)a a a ±±±
()()()()222
2
01()x y z x y z x y z x y z a a a a
i k k k i k k k i k k k i k k k s s E k J J e e e e ε+++--+--⎡=--+++⎢⎣
()()()()2
2
2
2
x y z x y z x y z x y z a
a
a
a
i k k k i k k k i k k k i k k k e e e e
-++-+---+---⎤++++⎥⎦
018(cos
cos cos )222
y x z s ak ak ak J J ε=--。