插值法：原理与应用
Zhenhua Song
插值的背景
• 1. 只有n个点处的函数值
• 希望找到一条通过这些点的曲线（连续、光滑）
• 2. 函数太麻烦，近似简化
• 找到一个好计算的函数，近似代替
• 3. 用多项式代替
• 多项式方便求值、求导、积分等
插值 & 逼近 & 拟合
• 0. 给定n个不同的点，构造曲线
• 1. 插值：曲线依次通过n个点
• 2. 逼近：曲线最接近n个点
• （接近：在某种意义下） • 例：最小二乘法
• 3. 拟合：插值 + 逼近
泰勒展开
• 在某一点x0处展开 • 只在x0处近似性较好
• 远离x0的点误差较大
• 需要n个点近似性较好
• 插值可以胜任
一次插值
• 用一次函数近似表示
二次插值
• 插值多项式形状、走向差异较大
Hermite插值 ：优势
Hermite ：一阶导数相同
Hermite：一阶导数相同
Hermite : 一阶导数相同
回忆拉格朗日基函数
Hermite ：其他
三次样条插值 ：背景
线段连接：粗糙
• 相邻两点用线段连接 • 形成折线，不够光滑
三次样条插值：特性
• 输出：
• n个三次多项式，作为Bezier曲线
Bezier曲线：形状
Bezier曲线：特点
• 改变某一段，不会对其他段产生影响 • 常用于工业设计
• 设计汽车外形 • Adobe illustrator可以方便绘制
• 缺点：
• 不方便进行误差分析 • B样条曲线可以更好地进行误差分析
拉格朗日插值：示例
Nevile迭代插值
Nevile迭代插值
Nevile迭代插值
牛顿差商插值
牛顿差商插值：系数确定
牛顿差商插值：系数确定
牛顿差商插值：公式导出
牛顿差商插值：系数求解
牛顿差商插值：间距相等
牛顿差商插值：间距相等
牛顿差商插值：反向差商
Hermite插值
拉格朗日插值缺点
• 用二次函数来表示
多项式插值 ：示例
• 给定的n+1个不同的点
• 找到一个n次多项式，
• 依次通过这n+1个点
• n次多项式必然唯一
多项式插值：唯一性
多项式插值：唯一性
拉格朗日插值
拉格朗日插值：2点情形
基函数的构建：2点情形
基函数的构建：n+1点情形
拉格朗日插值：n+1点情形
拉格朗日插值：误差估计
三次样条插值：边界
三次样条插值：构建
三次样条插值：构建
三次样条插值：应用
多项式插值：对比
参数曲线
参数曲线：图像
三次参数曲线：定义
三次参数曲线：构造
三次函数曲线：图像
Bezier曲线
• n+1个点分成n段，• 每一段都是 Nhomakorabea次参数曲线
• 输入：
• n+1个点 • n段上端点切向量上某一点