《机械优化设计》复习题一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 。

2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 ，二是 。

3、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

4、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。

5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。

6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 。

7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在______关系。

8、与负梯度成锐角的方向为函数值 方向，与梯度成直角的方向为函数值方向。

将函数f(X)=x 12+2x 22-3x 1x 2 -10x 1-5x 2+60用矩阵和向量的形式表示9、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。

10、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 ，充分条件是 。

11、 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。

12、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。

13、优化设计问题的数学模型的基本要素有 、 、 。

14、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 ，且要求初始点在极小点 位置。

15、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T ++21的形式 。

16、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。

17、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 特点。

18、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。

二、选择题1、下面 方法需要求海赛矩阵。

A 、最速下降法B 、共轭梯度法C 、牛顿型法D 、DFP 法2、对于约束问题()()()()2212221122132min 44g 10g 30g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X=为 ，()251[,]22T X =为 。

A ．内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点 3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。

A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种___________。

A 、降维法B 、消元法C 、数学规划法D 、升维法5、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。

A [a 1，b 1]B [ b 1，b]C [a 1，b]D [a ，b 1]6、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A 设计变量B 约束条件C 目标函数D 最佳步长7、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k -αk H k ▽f(x k )，下列不属于H k 必须满足的条件的是________。

A. H k 之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定8、函数)(X f 在某点的梯度方向为函数在该点的 。

A 、最速上升方向B 、上升方向C 、最速下降方向D 、下降方向9、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。

A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法10、设)(X f 为定义在凸集R 上且具有连续二阶导数的函数，则)(X f 在R 上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R 上处处 。

A 正定B 半正定C 负定D 半负定11、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是A 牛顿法B 梯度法C 共轭梯度法D 变尺度法12、 一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。

A 、慢B 、快C、一样D、不确定13、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是，假设要求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A、其缩短率为0.618B、α1=b-λ（b-a）C、α1=a+λ（b-a）D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

14、与梯度成锐角的方向为函数值方向，与负梯度成锐角的方向为函数值方向，与梯度成直角的方向为函数值方向。

A、上升B、下降C、不变D、为零15、二维目标函数的无约束极小点就是。

A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点16、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为向量。

A 相切B 正交C 成锐角D 共轭17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。

A 需要求海赛矩阵B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度C 共轭梯度法具有二次收敛性D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度18、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是。

A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B 惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D 初始点必须在可行域内三、问答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别？2、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？3、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？4、与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点。

5、在变尺度法中，为使变尺度矩阵k H 与1-k G 近似，并具有容易计算的特点，k H 必须附加哪些条件？6、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

7、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

8、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。

9、变尺度法的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并写出其初始形式。

10、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？11、请写出应用MATLAB 优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤。

四、解答题1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x 12+0.5x 22- x 1x 2-2x 1的最优解，设初始点x (0)=[-2，4]T ,选代精度ε=0.02（迭代一步）。

将函数f(X)=x 12+2x 22-3x 1x 2 -10x 1-5x 2+60用矩阵和向量的形式表示2、试用牛顿法求f( X )=(x 1-2)2+(x 1-2x 2)2的最优解，设初始点x (0)=[2,1]T 。

3、设有函数 f(X)=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1，试利用极值条件求其极值点和极值。

4、求目标函数f( X )=x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点[1，1，-2]T 处具有极小值。

6、给定约束优化问题min f(X)=(x 1-3)2+(x 2-2)2s.t. g 1(X)=x 12+x 22-5≤0g 2(X)=x 1+2x 2-4≤0g 3(X)=-x 1≤0g 4(X)=-x 2≤0验证在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立。

7、设非线性规划问题1)(0)(0)(..)2()(min2221322112221≤-+-=≤-=≤-=+-=x x X g x X g x X g t s x x X f 用K-T 条件验证[]T X 0,1*=为其约束最优点。

8、用共轭梯度法求函数12122212122123),(x x x x x x x f --+=的极小点。

9、已知目标函数为f(X)= x 1+x 2，受约束于：g 1(X)=-x 12+x 2≥0g 2(X)=x 1≥0写出内点罚函数。

10、已知目标函数为f(X)=( x 1-1)2+(x 2+2)2受约束于：g 1(X)=-x 2-x 1-1≥0g 2(X)=2-x 1-x 2≥0g 3(X)=x 1≥0g 4(X)=x 2≥0试写出内点罚函数。

11、如图，有一块边长为6m 的正方形铝板，四角截去相等的边长为x 的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x 取何值）才能获得最大容器的箱子。

试写出这一优化问题的数学模型以及用MA TLAB 软件求解的程序。

12、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MA TLAB 软件求解的程序。

13、一根长l 的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MA TLAB 软件求解的程序。

14、求表面积为300m 2的体积最大的圆柱体体积。

试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序。

15、薄铁板宽20cm ，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。

写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab 软件的优化工具箱求解（写出M 文件和求解命令）。

16、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。

管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边，不计顶边）。

试按照使液体流速最大确定该管道的参数。

写出这一优化设计问题的数学模型。

并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。

力缆每米需用材料9kg，3个工时，消耗电能4kW·h，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。

若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。

如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。