因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路:“一提、二代、三分组”
2.常用公式:
[1]a 2 b 2(a b)(a b)
[2](a b) 2 a 22ab b 2
[3]a 3b3(a b)(a 2?ab
[4](a b)3 a 33a 2b3ab
2⑸若n为正奇数,则a n b n
⑹若n为正整数,则a n b n
b 2 )
b3
(a b)(a n1 a n 2b a n 3b 2 (a b)(a n i a n 2b a n 3b 2
应用公式时,按某个字母降幕排列是一个简单而有用的措施,值得注意。
3.常用分组方法(注意:每组项数须平均分配):
(1 )按不同字母分组
(2) b.按不同字母的幕分组(幕次相近的放在一起)
(3)按不同项的系数分组
注:当分组不当,无法继续分解原式时,就应回到分组前的状况
4.拆项与添项
(1 )若整式按某一字母的升幕或降幕排列,那么以拆开中项为宜
(2)可以配完全平方(配方法)
5.十字相乘法(二次齐次式ax 2bxy cy2也可用此法分解,令y1代入原式即可)
ax+c例子:
X bx+d x+2
X x+3 adx bcx+cd
abx2+3x+6
x 2+ 2 x abx2+(ad bc) x+cd
x 2+5x+6将以上竖式简化,就可以得到十字相乘法的竖式:
a - b
c
-d
1
1
X2
3
ab bc5
补充一个结论:—
若二次三项式ax bx c的系数和a b c 0,则ax bx c (x 1)(ax c)
ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz2的三元齐次式.)
把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解,如果其中两组包含相同字母ab n2 b n1) ab n 2 b n 1 )
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6•双十字相乘法(应用于形如
ax 2 bxy cy 2 dy ey f 的二元二次式,或者是形如
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卜.- —_— - —_
|
卜 __ i - _ - ~~ - _ . |
1 —•
____ i __ _L __― — ____ |
的分解式所得到的数字一样 .且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话,分解式的 系数就为第一行的三个数和第二行的三个数,直接代入原式即可
7. 换元法(略)
8. 余数定理(x 、y 的齐次式也可以采用同样的方法)
f ( x ) a n x n a n i x n 1
a i x a 0
如果f (c ) 0,那么
(x c )是f ( x )的因式,反过来,如果 (x c )是f ( x )的因式,那么
f (c ) 0 .(证明过程略)
注:有理根c p
的分子 p 是常数项 a o 的因数,分母 q 是首项系数 a n 的因数.
q
如果整系数多项式 f ( x )的系数为1. q 1,有理根都是整数根.
补充三个重要结论:
(1 )若多项式的系数和等于 0,那么1是它的根,即
(x 1)是它的一次因式.
(2) 若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0,那么-1是它的根,即
(x 1)
是它的一次因式.
(3) 若多项式可以分解为几个有理数系数的积,则其一定能分解为几个整系数的多项式的 积.
9. 待定系数法
设待定系数,通过比较系数得岀方程组,利用系数为整数的条件求解即可
-b H W N W I I
ibi
M ilririhl
10•轮换式与对称式
两个轮换式(对称式)的和、差、积、商仍然是轮换式(对称式) 基本轮换式 一次齐次轮换式: l( x y z)
二次齐次轮换式:
l( x 2 y 2 z 2 ) m( xy yz zx)
三次齐次轮换式:
333
2
2
2
2
2
2
l(x y z) m(xy yz zx) m(xy yz zx) kxyz
这里,I 、m 、n 、k 都是待定常数
补充两个常用公式:
(1) a 3 b3 c 33abc (a b c)(a 2 b 2 c 2ab bc ca)
(2) a 3b c 3 abc1 (a b c)[(a b) 2(b c) 2(c
a)
2 )
(3) 当abc 0时, a b cFbc 3
11.实数集与复数集内的分解
(1)利用二次方程求根公式来分解二次三项式
(2)代数基本定理:在复数集内,对于多项式f(x) a n x a n i x n n a i x a0(n
是正整数),一定有复数c使得f (c)0 .
(3)实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而,在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.
1 折
(4)1的立方虚根 2 ,并且3, 1 :2 1 (可将x代入
多项式,求得因式)
(5)单位根:一般地,在复数集内有n个n次单位根,它们是
2L.. 2k 2n . .
cos —i sin —(k 1,2, ,r),其中cos —i sin — 1
n n n n
如果k与n互质,则cos2^ i sin ~称为本原单位根.
n n
(6)分圆多项式:与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式
分圆多项式在有理数集内不可约的
12•既约多项式相关知识
(1)艾森斯坦(Eisenstein,1823〜1852 )判别法
n m 一
设f(x) a n x a n 1x a1x a0是整系数多项式
如果存在一个质数p满足以下条件:
1.p不整除a n ;
2.p整除其余的系数(a o , a1, , a n 1);
2
3.p不整除a0.
那么,f ( x)在有理数集内不可约.
(2)绝对不可约
有些多元多项式,即使在复数集内也不能分解,这样的多项式称为绝对不可约
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