因式分解相关知识点整理【竞赛专用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分组”
2.常用公式:
[1]a 2 b 2(a b)(a b)
[2](a b) 2 a 22ab b 2
[3]a 3b3(a b)(a 2?ab
[4](a b)3 a 33a 2b3ab
2⑸若n为正奇数，则a n b n
⑹若n为正整数，则a n b n
b 2 )
b3
(a b)(a n1 a n 2b a n 3b 2 (a b)(a n i a n 2b a n 3b 2
应用公式时，按某个字母降幕排列是一个简单而有用的措施，值得注意。

3.常用分组方法（注意：每组项数须平均分配）：
（1 ）按不同字母分组
（2） b.按不同字母的幕分组（幕次相近的放在一起）
（3）按不同项的系数分组
注：当分组不当，无法继续分解原式时，就应回到分组前的状况
4.拆项与添项
（1 ）若整式按某一字母的升幕或降幕排列，那么以拆开中项为宜
（2）可以配完全平方（配方法）
5.十字相乘法（二次齐次式ax 2bxy cy2也可用此法分解，令y1代入原式即可）
ax+c例子：
X bx+d x+2
X x+3 adx bcx+cd
abx2+3x+6
x 2+ 2 x abx2+(ad bc) x+cd
x 2+5x+6将以上竖式简化，就可以得到十字相乘法的竖式：
a - b
c
-d
1
1
X2
3
ab bc5
补充一个结论:—
若二次三项式ax bx c的系数和a b c 0，则ax bx c （x 1）（ax c）
ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz2的三元齐次式.)
把其中三组二元三项式或二元齐次式分别用十字相乘法来分解，如果其中两组包含相同字母ab n2 b n1) ab n 2 b n 1 )
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6•双十字相乘法（应用于形如
ax 2 bxy cy 2 dy ey f 的二元二次式，或者是形如
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卜.- —_— - —_
|
卜 __ i - _ - ~~ - _ . |
1 —•
____ i __ _L __― — ____ |
的分解式所得到的数字一样 .且另外两个不同字母的结果符合某一项的系数的话，分解式的 系数就为第一行的三个数和第二行的三个数，直接代入原式即可
7. 换元法（略）
8. 余数定理（x 、y 的齐次式也可以采用同样的方法）
f （ x ） a n x n a n i x n 1
a i x a 0
如果f （c ） 0，那么
（x c ）是f （ x ）的因式，反过来，如果 （x c ）是f （ x ）的因式，那么
f （c ） 0 .（证明过程略）
注：有理根c p
的分子 p 是常数项 a o 的因数，分母 q 是首项系数 a n 的因数.
q
如果整系数多项式 f （ x ）的系数为1. q 1，有理根都是整数根.
补充三个重要结论:
（1 ）若多项式的系数和等于 0,那么1是它的根，即
（x 1）是它的一次因式.
（2） 若多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于 0,那么-1是它的根，即
（x 1）
是它的一次因式.
（3） 若多项式可以分解为几个有理数系数的积，则其一定能分解为几个整系数的多项式的 积.
9. 待定系数法
设待定系数，通过比较系数得岀方程组，利用系数为整数的条件求解即可
-b H W N W I I
ibi
M ilririhl
10•轮换式与对称式
两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式） 基本轮换式 一次齐次轮换式： l( x y z)
二次齐次轮换式：
l( x 2 y 2 z 2 ) m( xy yz zx)
三次齐次轮换式：
333
2
2
2
2
2
2
l(x y z) m(xy yz zx) m(xy yz zx) kxyz
这里，I 、m 、n 、k 都是待定常数
补充两个常用公式:
(1) a 3 b3 c 33abc (a b c)(a 2 b 2 c 2ab bc ca)
(2) a 3b c 3 abc1 (a b c)[(a b) 2(b c) 2(c
a)
2 )
(3) 当abc 0时， a b cFbc 3
11.实数集与复数集内的分解
（1）利用二次方程求根公式来分解二次三项式
（2）代数基本定理：在复数集内，对于多项式f（x） a n x a n i x n n a i x a0（n
是正整数），一定有复数c使得f （c）0 .
（3）实系数多项式的虚数根是两两共轭的.因而，在实数集内每个多项式都可以分解为一次因式与二次因式的积.
1 折
（4）1的立方虚根 2 ，并且3， 1 :2 1 （可将x代入
多项式，求得因式）
（5）单位根：一般地，在复数集内有n个n次单位根，它们是
2L.. 2k 2n . .
cos —i sin —（k 1,2, ,r），其中cos —i sin — 1
n n n n
如果k与n互质，则cos2^ i sin ~称为本原单位根.
n n
（6）分圆多项式：与n次本原单位根对应的一次因式的积的整系数的多项式
分圆多项式在有理数集内不可约的
12•既约多项式相关知识
（1）艾森斯坦（Eisenstein，1823〜1852 ）判别法
n m 一
设f（x） a n x a n 1x a1x a0是整系数多项式
如果存在一个质数p满足以下条件：
1.p不整除a n ；
2.p整除其余的系数（a o , a1, , a n 1）；
2
3.p不整除a0.
那么，f （ x）在有理数集内不可约.
（2）绝对不可约
有些多元多项式，即使在复数集内也不能分解，这样的多项式称为绝对不可约
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