例1 某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、 B两地间运行，每隔 10分钟A、B两地各发出一 班车，此人常在离家最近的 C点等车，他发现了 一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下， 先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车 次多些吗？请你帮助他找一下原因。
AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。
（3）模型建立
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划 各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。 （尽量用简单的数学工具）
（4）模型求解
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计 算（估计）。可以采用解方程、画图形、证明定 理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的 数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的 解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统 运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数 学软件包能力便举足轻重。
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x,
y表示船速和水速）；
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20,
y义
• 电子计算机的出现及飞速发展
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
数学模型(Mathematical Model)和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当 的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模竞赛讲座
Mathematical Contest in Modeling
主讲人：王爱苹
华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之多，化工 之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁……无一 不可用数学来表达。” 任何应用问题，一旦建立起了数学的模型， 就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜 利的一线曙光。
内 容
随着赛事的开展，越来越多的人认识到， 数模竞赛是培养创新能力的一个极好载体，而 且能充分考验学生的洞察能力、创造能力、数 学语言翻译能力、文字表达能力、综合应用分 析能力、联想能力、使用当代科技最新成果的 能力，等等。学生们同舟共济的团队精神和协 调组织能力，以及诚信意识和自律精神的塑造， 都能得到很好地培养。
思考一下？
两座城市，隔着一 条河(河岸是平行 线)。我们希望用 最短的道路连接他 们，这需要在河上 架桥，桥必须与河 岸垂直。问这座桥 应建在何处？
City 1
河流
几何直观化！
City 2
数学建模的论文结构
1、摘要—问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型推广 8、参考文献 9、附录
Part E：数学建模竞赛的魅力
终生受益的竞赛 培养创新能力的极好载体 建立数模来解决实际问题，是我们大家在 走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事 情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的 能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会 对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人 才的需求要多得多。
姜启源曾说过，“数模竞赛是大学阶段除毕业 设计外难得的一次‘真刀真枪’的训练” ，它相 当程度上模拟了学生毕业后工作时的情况， 既丰富、活跃了广大学生的课外生活，也为 优秀学生脱颖而出创造了条件。
Part A：数学建模 Part B：建模竞赛简介 Part C：中国大学生数学建模竞赛历程 Part D：建模过程简介 Part E：建模案例分析
Part F：数学建模竞赛的魅力
Part A：数学模型
什么是数学模型
玩具、照片… ~ 实物模型
我们常见 的模型
风洞中的飞机…
地图、电路图…
~ 物理模型
学学会共同主办的，每年9月下旬举行。竞赛面
向全国高等院校的学生，不分专业。每年的报名
将通知各有关院校。
Part C：中国大学生数学建模竞赛历程
1988.6 叶其孝教授在美国讲学期间向美国大学生数学建模 竞赛发起者和负责人Fusaro教授了解这项竞赛的情 况，商讨中国学生参赛的办法和规则。 1989.2.24～26
此都有明显的不同。
数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技 术和管理科学中的实际问题简化加工而成，它 对数学知识要求不深，一般没有事先设定的标 准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明 才智和创造精神。
2. 数学建模竞赛 ——数学建模竞赛的形式
数学建模竞赛以通讯形式进行。 三名大学生组成一队，可自由地收集资料、调查研究， 使用计算机和任何软件，甚至上网查询，但不 得与队外任何人讨论。
省、市级首次举办数学建模竞赛。 1994.10.28～30
1994年全国大学生数学建模竞赛举行，21省（市、自
治区）196所院校的870队参加。
Part D：建模过程简介
数学建模的几个过程 （1）模型准备 （3）模型建立 （2）模型假设 （4）模型求解 （6）模型应用
（5）模型分析和检验
（1）模型准备
很多学生用“一次参赛，终生受益”来描述他们的 感受。许多参加过竞赛的学生的自主学习和科研 能力显著提高，在毕业设计和研究生阶段的学习 中表现出明显的优势，得到用人单位和研究生导 师的普遍认可。
成功参赛的要素
• 浓厚的兴趣 • 敏锐的洞察力和活跃的思维 • 获取新知识的能力 • 扎实的数学基础 • 熟练的计算机编程 • 清晰的论文表达
时间：三天。完成一篇包括模型的假设、建立和求解， 计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和 检验， 模型的改进等方面的论文。 竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的 正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。
3. 数学建模竞赛 ——怎样参加数学建模竞赛
竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数
一点希望
1. 在平时的学习和思考中，逐步养成用数学 的方法 解决学习和科研中的问题的习惯
2. 团结合作，相互帮助
3. 积极参加数学建模竞赛活动
（找工作都方便些）
2. LINGO：专业的优化软件
3. 其他
SAS: 专业的统计分析软件
Mathematica, Maple: 符号／精确计算能力强
EXCEL: 电子表格，简单数据处理
C++.
怎样学习数学建模
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 想象力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 判断力 创新意识
由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要 行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的 区间，例如，可以从 A方向来的车驶离C站时 开始，在其后的 9分钟内到达的乘客见到先来 的车均为 B开往A的，仅有最 后1分钟到达的 乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果 此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上 B方向来的车的概率为 90% 。
洞察力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
Part B：建模竞赛简介
1. 数学建模竞赛 ——什么是数学建模竞赛
数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，
和一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的
冥思苦想，它训练严密的逻辑推理和准确的
计算能力。但数学建模竞赛从内容到形式与
分析 本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当 然，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
我们碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距 750 公里，船从甲到乙顺水航行需 30 小时， 从乙到甲逆水航行需 50 小时，问船的速度是多少。
用x表示船速，y表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解得到 x=20, y=5, 答：船速每小时20公里
我国大学生（北京大学、清华大学、北京理工大学共
4个队）首次参加美国大学生数学建模竞赛，自此每年
我国都有同学参加这项竞赛。
1989.3
《高校应用数学学报》第4卷第1期发表叶其孝教授的
文章“美国大学生数学建模竞赛及一些想法”，第一次
向国内介绍这项竞赛。
1990.12.7～9
上海市举办大学生（数学类）数学模型竞赛，这是我国
• 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
具备的数学知识
（1）数学分析 （3）概率与数理统计 （2）高等代数 （4）运筹学 （6）组合数学 （8）排队论
（5）图论
（7）微分方程
常用数学软件
1. MATLAB：计算方法，优化/统计/符号工 具箱等
（5）模型检验
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来
验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模
型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际
含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,
则应该修改假设，在次重复建模过程。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型假设 模型构成
模型检验 模型应用
模型分析
模型求解
Part E：建模案例分析
了解问题的实际背景，明确其实际意义与建模 目的，掌握对象的各种信息（要收集）。用数 学语言来描述问题。
（2）模型假设
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行 必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些 恰当的假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，是不现实的， 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力 和判断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。