2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> （B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B = （ ）（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > （C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<< ，故选C ． （3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（ ）（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = （D ）()2xf x -= 【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南，文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3，所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =，故选B ． （6）【2014年湖南，文6，5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）（A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4，根据圆和圆外切的判定可得19m ==，故选C ．（7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时，运行程序如下：(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=- ，故选D ．（8）【2014年湖南，文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r，则862r r r -+-==，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- （C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-，则(]0,1x ∈时，()1xf x e x '=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x=，则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减， ()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<，故选C ．（10）【2014年湖南，文10，5分】在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0),(0(30)A B C -，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）（A ）[4,6] （B） （C） （D ） 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++=因为2cosθθ的取值范围是⎡⎡=⎢⎣⎣，故1OA OB OD ⎤++∈=⎦，故选D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年湖南，文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12，5分】在平面直角坐标系中，曲线2:1x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）的普通方程为． 【答案】10x y --=【解析】联立2:1x C y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14，5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上，且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >， 所以()(),11,k ∈-∞-+∞ ．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数，则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南，文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n an n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． （2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+ ． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲；乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E ={恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． （18）【2014年湖南，文18，12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为 O ．（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D = ，∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1）知，AB ⊥平面ODE ，∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角，∴60DEO ∠=︒．设2AB =，则2AD =，DE =3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3c o s 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19，13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． （1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠ ．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠2sin sin 3α=，sin α∴= （2）0<<3πα，sin α=cos α∴=222cos cos ()cos cos +sin sin 333AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，cos EA BE AEB ∴===∠ （20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1）设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．P 在1C 上，∴22121:1y C b -=，213b =．由椭圆定义知，22a =2a 2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l的方程为x =x =．当x易得A，B ，||||OA OB AB +==||||OA OB AB +≠ ．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-，于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=，可得2223k m =-，于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠ ，即||||OA OB AB +≠ ． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南，文21，13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++< ．解：（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时，()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈， ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈．（2）由（1）知，()f x 在区间(0,)π上单调递减，∵()02f π=，∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<，且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根，又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯-- 2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈，都有2221211123n x x x +++< ．。