2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B =I （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b <C ．22a b >D ．33a b > 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x= B ．x y e -= C ．21y x =-+ D ．lg y x = 4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sinB =（ ） A ．15 B ．59C ．53D ．1 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．610987 7．双曲线221y x m -=的离心率大于2的充分必要条件是 A ．12m > B ．1m ≥ C ．1m > D ．2m >8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个 D ．6个第二部分（选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p =，准线方程为 。

10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。

11．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。

12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 。

13．函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪ <⎩的值域为 。

14．向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r （12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 。

三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值。

（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值。

16．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。

某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。

（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。

（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（1）PA ⊥底面ABCD（2）//BE 平面PAD（3）平面BEF ⊥平面PCD18．（本小题共13分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。

19．（本小题共14分）直线y kx m =+（0m ≠）W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点（1）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长。

（2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明四边形OABC 不可能为菱形。

20．（本小题共13分）给定数列1a ，2a ，L L ，n a 。

对1,2,3,,1i n =-L ，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i -项1i a +，2i a +，L L ，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-。

（1）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值。

（2）设1a ，2a ，L L ，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a >，证明1d ，2d ，L L ，1n d -是等比数列。

（3）设1d ，2d ，L L ，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d >，证明1a ，2a ，L L ，1n a -是等差数列。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2，1x =- 10．3 11．2，121n +-12 13．(,2)-∞- 14．3 三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出必要的文字说明，演算步骤）15．（本小题共13分）解：（1）21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x =+)4x π=+ 所以，最小正周期242T ππ== 当4242x k πππ+=+（k Z ∈），即216k x ππ=+（k Z ∈）时max ()2f x =（2）因为())4f παα=+= 所以sin(4)14πα+= 因为2παπ<<，所以9174444πππα<+< 所以5442ππα+=，即916πα= 16．（本小题共13分）解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天， 所以概率为1213P = （2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14)其中只有一天重度污染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共4种，所以概率为2413P = （3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。

17．（本小题共14分）证明：（1）因为PA AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD I 底面ABCD AD = 所以PA ⊥底面ABCD（2）因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以//EF PD ，而EF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD（3）因为PA ⊥底面ABCD ， CD ⊂平面ABCD所以PA CD ⊥，即CD PA ⊥因为AB AD ⊥，//CD AB ，所以//CD AD而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD因为//AB CD ，所以2CD AB =，所以四边形ABED 是平行四边形，所以//BE AD ，而BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD所以//BE 平面PAD ，同理//EF 平面PAD ，而EF ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF 且EF BE E =I所以平面//BEF 平面PAD ， 所以CD ⊥平面//BEF又因为CD ⊂平面PCD所以平面BEF ⊥平面PCD18．（本小题共13分）解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩，即22cos 0sin cos a a a a a a a b+=⎧⎨++=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩ （2）因为2cos 0x +>所以当0x >时'()0f x >，()f x 单调递增当0x <时'()0f x <，()f x 单调递减所以当0x =时，()f x 取得最小值(0)1f =，所以b 的取值范围是(1,)+∞19．（本小题共14分）解：（1）线段OB 的垂直平分线为12y =， 因为四边形OABC 为菱形， 所以直线12y =与椭圆的交点即为A ，C 两点 对椭圆2214x y +=，令12y =得x =所以AC =（2）方法一：当点B 不是W 的顶点时，联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-= 设11(,)A x y ，12(,)C x y ， 则122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 1212y y kx m kx m +=+++12()2k x x m =++228214k m m k=-++ 2214m k=+ 若四边形OABC 为菱形，则OA OC =，即22OA OC =所以22221122x y x y +=+即12122121()()()()x x x x y y y y +-=+-因为点B 不是W 的顶点，所以120x x -≠， 所以12212112x x y y y y x x +-=+- 即22814214kmk k mk +-=-+，即4k k = 所以0k =此时，直线AC 与y 轴垂直，所以B 为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，所以四边形OABC 不可能为菱形方法二：因为四边形OABC 为菱形，所以OA OC =， 设OA OC r ==（1r >）则A ，C 两点为圆222x y r +=与椭圆2214x y +=的交点 联立方程2222214x y r x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得224(1)3r x -= 所以A ，C 两点的横坐标相等或互为相反数。

因为点B 在W 上若A ，C 两点的横坐标相等，点B 应为椭圆的左顶点或右顶点。

不合题意。

若A ，C 两点的横坐标互为相反数，点B 应为椭圆的上顶点或下顶点。