考点43 利用导数解决不等式问题
1.（13天津T8）设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）
A. ()0()g a f b <<
B. ()0()f b g a <<
C. 0()()g a f b <<
D. ()()0f b g a <<
【测量目标】利用导数解决不等式问题.
【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小.
【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.
()e 10x f x '=+>，∴()x f 是增函数. （步骤1）
∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x
'=+> ∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）
∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）
(1)20,g =-<(2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）
2.（13湖南T21）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x x f x x
-=
+． ⑴求()f x 的单调区间；
⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．
【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．
【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法． 【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（），
2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭
222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x
x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯<，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，
当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=单调递减．
∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．
（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x
->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3） 当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4） 下面证明：
(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，
即证 2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5） 令1()(1)e e
x x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6） 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x x
x x +--
<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．
（步骤7） 而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8）
由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，
所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9） 3.（13课标ⅡT12）若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 （ ）
A.（-∞，+∞）
B.(-2, +∞)
C.(0, +∞)
D.（-1，+∞）
【测量目标】利用导数解决不等式问题.
【考查方式】带未知数的不等式，由x 的范围得出未知数的范围.
【参考答案】D
【试题解析】把参数a 分离出来，利用导数知识进行求解.()121,2x x x a a x -<∴>-令()()1,'12ln 20.2
x x f x x f x -=-∴=+>()()0,f x ∴+∞在上单调递增，()()0011,f x f ∴>=-=-()1+.a D ∴-∞的取值范围为，，故选。