证 Snu1u2 un
"" un收敛
{Sn}收敛 Sn M
n1
"" Sn M 又 Sn 1Snun 10
{Sn}
nl imSn存在
un收敛 n 1
第二节 正项级数的收敛判别法
2. 正项级数的证明方法
比较法
不 等 式 形 式
极限形式
比值法
根 值 法
第二节 正项级数的收敛判别法
① 比较法 A.不等式形式 0un vn
11 181 9 10 16 16 2 2n112n12 21 n122nn 11 2
(
1
n1 2n 1
21n1) 发散
11 1111 1 1 (3 4 ) (5 6 7 8 ) (2 n 1 2 n 1 )发散
1111 1 234 n
发散
第二节 正项级数的收敛判别法
1.正项级数收敛的充分必要条件：前n 项和 S n 有上界.
n
1aq
其和为
a 1 q
;
因此级数收敛 ,
当q1时, nl im Sn, 因此级数发散 .
第一节 常数项级数
2) 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为
a a a a ( 1 )n 1 a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
2 12 13 13 14 14 1 解 考虑加括号后的级数
(1 1 ) (1 1 ) (1 1 )
2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2 1
n2
an
2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
第一节 常数项级数
例
证明:
111 23
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
整体概况
+ 概况1
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概况2
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DMU
概况3
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第十二章 无穷级数
第一节 第二节
第一节 常数项级数
③ un收, 敛 vn发 散 (un vn)发散
n 1
n 1
n 1
④ 级数收敛与否与前有限项无关
⑤ 级数收敛 加括弧后收敛
即 u1u2 un 收敛.
则 (u 1u2)(u3u4) 收敛.
注:如果加括弧级数发散 去括弧后发散
第一节 常数项级数
例 判断级数的敛散性:
1 1 1 1 1 1
ank a(k)
3 ) ln ia m nab N , a n b
anb ab anb ab
第一节 常数项级数
4 ) x l im x 0f(x ) A x n k x 0(x n k x 0 )(k )
f (xnk )A
例如 limn2((11)2n e2)
n
n
(11)2x e2 lim x
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1时, 等比级数发散 .
第一节 常数项级数
常数项级数的性质 ①级数收敛的必要条件
n 1un收敛 n l im un0
lni mun
0 un
n1
发散
② un, vn收 敛 (un vn)收敛
n 1 n 1
n 1
& kun收敛. n1
第一节 常数项级数
定义 给定一个数列 u 1,u 2,u 3, ,u n, 将各项依
次相加, 简记为 u n , 即
n 1
u n u 1 u 2 u 3 u n
n 1
称为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项,
n
级数的前 n 项和 Sn uk u 1 u 2 u 3 u n
2ln(11)
limex x
e2
x0
x2
x0
x2
e (e 2
2ln(11)2 xx
1)
lim
x0
x2
第一节 常数项级数
5)两边夹法则
已an 知 bncn,
l n i m a n a l n i m c n l n i m b n a . 6 ) 单调有界数列
a n ,a n M n l ia m n a , a n ,a nM n l ia m n a .
n1
vn收敛
un收敛
n 1
.
n 1
un发散
发散
n1
vn
证 Tnv1v2 vn, Snu1u2 un
vn收敛
1 n
(调和级数)发散.
证 解法1
假设调和级数收敛
，前n项和为 S
，
n
即Sn
11 2
1, n
lim
n
Sn
S,
lim
n
S2n
S,
则 n l im (S2nSn)0
11
1
S2nSnn 1n2
2n
1 1 1 0 2n 2n 2n
矛盾
11 1 发散
2
n
第一节 常数项级数
解法2
1 1 1 ，111141， 3 4 2 5678 8 2
第一节 常数项级数
例 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解 1) 若 q1, 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a q 1 q节 常数项级数
常数项级数的概念
引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 32n(n0,1,2, )边形, 设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 32n 边形面积为
a 0 a1 a2 an n时, 这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
k 1
称为级数的部分和. 若limSnS存,在 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和.
第一节 常数项级数
记为
S un
n 1
若limSn不存,在 则称无穷级数发散 .
n
当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然
nl im rn 0
第三节 第四节 第五节
第六节 第七节 第八节
常数项级数 正项级数的收敛判别法
一般常数项级数的收敛判别法 幂级数 函数的幂级数展开
幂级数的应用 周期函数的傅里叶级数 非周期函数的傅里叶级数
第一节 常数项级数
有关数列的性质
1 ) (N) 0,N当nN, an a
2 ) ln im an a lni m an2k lni m an2k1a