y
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
Байду номын сангаас
例如， {( x, y) | x2 y2 4}.
o
x
(9)有界集、无界集 有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r,使得
E U (O, r) 其中O是坐标原点，则称E为有界集。否则称为无界集。
y
例如， {( x, y) | x2 y2 4}
有界闭区域；
例如: 三角形的面积A依赖于三角形的两条边b 和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下 面的公式给出 A 1 bc sin C
2 这个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。
1.平面点集 在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P
与有序二元实数组(x,y)之间建立了一一对应。这种建 立了坐标系的平面称为坐标平面。二元有序实数组(x, y)的全体，即
o
x
{( x, y) | x y 0}
无界开区域．
4.n维空间(Space n)
x (x1, x2 , , xn ) Rn , y ( y1, y2 , , yn ) Rn , R x y (x1 y1, x2 y2 , , xn yn ) x ( x1, x2 , , xn )
则称 P1 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
(2)外点
设 E 是平面上的一个点集，
P2 是平面上的一个点．如 果存在 点 P2 的某一邻域 U (P2 ) E ， 则称 P2 为 E 的外点.
• P1
E P2 •
（3）边界点
如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点，
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也
设 n为取定的一个自然数，我们称定义了线性运算 的 n元数组( x1 , x2 ,, xn )的全体的集合 Rn 为 n维空 间，而每个 n元数组( x1 , x2 ,, xn )称为 n维空间中的 一个点，数 xi称为该点的第i 个坐标.
设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 . 称为两点P , Q之间的距离.
§8.1多元函数基本概念
一 平面点集(Plane point set) 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性
一 平面点集(Plane point set)
在上册中,我们讨论的函数只有一个变量,这种 函数称为一元函数,但在实际问题中,往往涉及到多 方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于几 个变量的情况,这就提出多元函数及其微积分问题, 本章讨论多元函数微分学及其应用.
z f (x, y), (x, y) D
或
z f (P), P D ，
其中点集 D 称为该函数的定义域，x,y 称为自变量， z 称为因变量。
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n元函数统称为多元函数. u f ( x1 , x2 ,, xn )
例1 . 求 f ( x, y) ln( x y)的定义域
V 0, T T0
• 三角形面积的海伦公式 ( p a b c ) 2
b
a
S p( p a)( p b)( p c)
c
( a,b,c ) a 0, b 0, c 0, a b c
定义 1.设 D是 R2 一个非空子集，称映射 f : D R 为定
义在 D 上的二元函数，记为
如果点集E的余集E C为开集，则称E为闭集。
例如，{( x, y)1 x2 y2 4}为闭集
{( x, y)1 x2 y2 4}非开非闭集
（7）连通集 若点集E中任意两点， 都可用一完全属于E的折线相连 .
• •
y
(8)区域 连通的开集称为区域或开区域．
o
x
例如，{( x, y) | 4 x2 y2 9}.
R2 R R {(x, y) x, y R} 就表示坐标平面。
坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面 点集，记作
E {(x.y) (x, y)具有性质 P}
2.邻域
设 P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平 面 上 的 一 个 点 ， 是 某 一 正 数 ， 与 点 P0(x 0, y0 )距 离 小 于 的 点 P (x , y)的 全 体 ， 称 为 点 P0的 邻 域 ， 记 为 U (P0 , )，
比如：U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
二、多元函数的概念
引例:
• 圆柱体的体积
r
V r 2h , ( r, h ) r 0, h 0
h
• 定量理想气体的压强
p RT V
( R为常数）,
(V , T )
解：所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2. 求 f ( x, y) arcsin( x2 y2 ) 的定义域。
可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
•P
注：10 E的内点必属于E;
20 E的外点必定不属于 E;
E
30 E的边界点可能属于 E也可能不属于E.
(4)聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点.
说明：
点集E的聚点可能属于 E也可能不属于 E
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点.
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
(5)开集
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
•P
例如，{( x, y)1 x2 y2 4} 即为开集．
E (6)闭集
U (P0 , ) P | PP0 |
(x, y) | (x x0 )2 ( y y0 )2 .
•
P0
点P0的去心邻域 Uˆ (P0 , ) P 0 | PP0 |
3.区域(Domain)
(1)内点 设 E 是平面上的一个点集， P1 是平面上的
一个点．如果存在点 P1 的某一邻域 U (P1 ) E ，