圆考点1：圆以及与圆有关的概念考点2：圆的性质定理垂径定理圆周角定理切线长定理三角形的内切圆和外接圆圆的内接多边形定理圆相离考点3：与圆有关的位置关系外切相交内切内含考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算圆柱，圆锥相关计算考点一：圆以及与圆有关的概念【笔记】知识点一圆的定义（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

知识点二与圆有关的概念（1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径是半径的2倍。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

（4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。

（5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。

（6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（7）弓形：由弦及其所对的弧．．．．．．组成的图形叫做弓形。

（一弦对两弧）（8）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。

【例1】下列判断中正确的是( )A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【答案】C【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。

(2)过圆心的线段是直径。

(3)长度相等的弧是等弧。

(4)弧是半圆。

(5)三点确定一个圆。

(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为()A. 10°B. 15°C. 20°D. 25°【答案】A考点二：圆的性质定理【笔记】1.垂径定理概念：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（非直径．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行线所加的弧相等。

【例1】（2016.湖北黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】A【例2】（2015.贵州安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为()A. 2√2B. 4C. 4√2D. 8【答案】C【例3】（2017湖北黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为()A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°【答案】B2.圆周角定理概念：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°所对的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例1】如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB⏜的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为()A. 12B. 5C. 5√32D. 5√3【答案】D【例2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD⏜=CD⏜.若∠CAB=40°，则∠CAD=______．【答案】25°3.切线的判定方法和性质切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

切线长定理概念：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

【例1】（2016.四川绵阳）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CF=4，DF=√10，求⊙O的半径r及sinB．【答案】(1)证明：连接OA、OD，如图，∵点D为CE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BC，∴∠EOD=90°，∵AB=BF，OA=OD，∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，而∠BFA=∠OFD，∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O切线；(2)解：OF=CF−OC=4−r，OD=r，DF=√10，在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+(4−r)2=(√10)2，解得r1=3，r2=1(舍去)；∴半径r=3，∴OA=3，OF=CF−OC=4−3=1，BO=BF+FO=AB+1．在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，∴AB2+32=(AB+1)2，∴AB=4，OB=5，∴sinB=OAOB =35．【例2】（2017.四川宜宾）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC⏜的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若OF=4，求AC的长度．【答案】解：(1)DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是BC⏜的中点，∴BD⏜=CD⏜，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．(2)解法1：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，BG⏜=BD⏜=DC⏜，∴DG⏜=BC⏜，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，又∵OH//AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．解法2：如图，过O作OM⊥AC于M，则四边形DOME是矩形，∴∠DOM=90°，又∵DF⊥AB，∴∠FDO+∠FOD=∠MOA+∠FOD=90°，∴∠FDO=∠MOA，在△FDO和△MOA中，{∠DFO=∠OMA=90°∠FDO=∠MOADO=OA，∴△FDO≌△MOA(AAS)，∴AM=OF=4，又∵OM⊥AC，∴AC=2AM=8．4.三角形的内切圆与外接圆外心：三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，他到三角形三个顶点的距离相等。

内心：三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

【例1】（2017.广西钦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC⏜的长等于()A. 2π3B. π3C. 2√3π3D. √3π3【答案】A【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC=2，∴劣弧BC⏜的长为：60π×2180=2π3．故选A．【例2】（2017.江苏扬州）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为()A. 114°B. 122°C. 123°D. 132°【答案】C【例3】（2017.四川眉山）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=______°.【答案】50【解析】解：连接CO，∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，∴∠OAC=(180°−80°)÷2=50°．故答案为：50【例4】（2017.山东滨州）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．(1)求证：DG//CA；(2)求证：AD=ID；(3)若DE=4，BE=5，求BI的长．【答案】(1)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠2=∠7，∵DG平分∠ADF，∠ADF，∴∠1=12∵∠ADF=∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴DG//AC；(2)证明：∵点I是△ABC的内心，∴∠5=∠6，∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6，即∠4=∠DAI，∴DA=DI；(3)解：∵∠3=∠7，∠ADE=∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB=DE：DA，即AD：9=4：AD，∴AD=6，∴DI=6，∴BI=BD−DI=9−6=3【例5】（2019.湖北孝感）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；(3)若CD=1，EH=3，求BF及AF长．【答案】证明：(1)如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE//BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；(2)如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=90°EC=EH，∴△CDE≌△HFE(AAS)，∴CD=HF．(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在Rt△HFE中，EF=√32+12=√10，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，∴EFBF =HFEF，即√10BF=√10，∴BF=10，∴OE=12BF=5，OH=5−1=4，∴Rt△OHE中，cos∠EOA=45，∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA =45，∴5OA =45，∴OA=254，∴AF=254−5=54．5.圆内接四边形性质定理概念：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。