在定点乘法运算中，补码乘法分为补码一位乘法和补码两位乘法。

而补码一位乘法又分为较正法和比较法（Booth算法）两种。

其中，较正法是比较法的基础。

因此，掌握较正法是学习补码一位乘法的关键。

下面，我们就对较正法进行深入分析。

一、较正法公式[XY]补= [X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0其中，X、Y是两个定点数的真值，[Y]补=Y0.Y1,Y2, … ,Y n，Y0是符号位。

为了推导出此公式，我们分情况来进一步分析。

1、Y=0在这种情况下，[Y]补=Y=0.0,0, … ,0=0。

[XY]补=0=[X]补*(0.0,0, … ,0)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y02、X>=0, Y>0在这种情况下，[X]补=X，[Y]补=Y，且Y0=0。

不难看出，[XY]补=XY=[X]补*Y=[X]补*(Y0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*0=[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)+[-X]补*Y0到此为止，我们还有两种情况尚未讨论，一种情况是X<0, Y>0，一种情况是Y<0。

前一种情况是本文讨论的重点。

与很多教材上的推导方法不同，本文采用与原码一位乘法相对照来证明此种情况。

此方法用到的知识点有原码一位乘法和补码移位规则。

首先，我们先来回顾一下这两个知识点。

二、原码一位乘法原码一位乘法基本上是从手算法则演变过来的。

我们知道，两个数相乘的手算法则是“绝对值相乘；同号得正，异号得负”。

原码一位乘法也采用这种方法。

设[X]原=X s.X1,X2, … ,X n[Y]原=Y s.Y1,Y2, … ,Y n因为[X]原=X，[Y]原=Y，[XY]原=XY所以[XY]原=[X]原*[Y]原则P=|[XY]原|=|[X]原|*|[Y]原|符号位P s=X s⊕Y s下面，我们对P进一步分析。

设A=|[X]原|则P=|[X]原|*|[Y]原|=A*( 0.Y1,Y2, … ,Y n)=0.1{ Y1A+(0. Y2, … ,Y n)}=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A +(0.Y3, … , Y n)}}=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}这样，我们就得到了原码一位乘法的公式：P=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}P s=X s⊕Y s其中，P=|[XY]原|，P s为乘积的符号位，A=|[X]原|，[X]原=X s.X1,X2, … ,X n，[Y]原=Y s.Y1,Y2, … ,Y n，X s和Y s是符号位。

三、补码移位规则对于一个数的补码来说，左移一位相当于该数真值乘以2，右移一位相当于该数真值乘以1/2。

1、非负数补码移位规则：除符号位外剩余部分作相应移位后空位补0。

因为非负数补码与原码相同，所以其移位规则也相同，这很容易理解。

2、负数移位规则：除符号位外剩余部分作相应移位后，左移空位补0，右移补1。

因为补码一位乘法只涉及到补码右移，所以这里只给出负数补码右移规则证明。

证明如下：设[X]补＝X0.X1,X2, … ,X n因为[X]补＝2+X则X＝[X]补－2＝X0.X1,X2, … ,X n－2因为X为负数，所以X0＝1，则X＝－X0+0.X1,X2, … ,X n （注1）1/2X＝－1/2 X0+1/2（0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+1/2 X0+1/2（0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+1/2（X0.X1,X2, … ,X n）＝－X0+0.X0, X1,X2, … ,X n-1写成补码形式，即得[1/2X]补＝X0.X0, X1,X2, … ,X n-1即[1/2X]补＝0.1[X]补（0.1可以看成是右移一位操作）四、较正法公式（续）3、X<0, Y>0证法1：前面已经讲过，原码一位乘法的公式为P=0.1{ Y1A +0.1{ Y2 A + … +0.1{Y n (A+0)}…}}不难发现，这个式子里包含着一个递归操作，递归因子是R＝0.1{Y m (A+Z)}所以，我们只需证明下面这个式子即可：0.1{Y m ([B]补+[Z]补)}＝[ 0.1{Y m (B+Z)}]补证明如下：0.1{Y m ([B]补+[Z]补)}＝0.1{Y m ([B+Z]补)}＝0.1{[Y m (B+Z)]补} （Y m只有0、1这两种可能）＝[ 0.1{Y m (B+Z)}]补（补码右移一位）这里需要注意一点，如果两个数相加得到的结果发生溢出，若结果向右移动一位，则原码空位补1，补码空位补0。

对上面式子的两端进行同等递归后可得[X]补*Y=[XY]补所以[XY]补= [X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0证法2：[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0＝[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n)＝0.1Y1[X]补+0.01Y2[X]补+ … +0.00 … 01Y n[X]补＝[0.1Y1X]补+[0.01Y2X]补+ … +[0.00 … 01Y n X]补（0.00 … 01可以看成是右移n位操作）＝[XY]补简单来说，因为补码和原码一样支持相加和右移操作，所以补码也支持非负乘操作。

4、Y<0前面已经证明X＝－X0+0.X1,X2, … ,X n所以，当Y<0时，Y＝0.Y1,Y2, … ,Y n－1XY＝X（0.Y1,Y2, … ,Y n）－X[XY]补＝[X（0.Y1,Y2, … ,Y n）－X]补＝[X]补（0.Y1,Y2, … ,Y n）+[－X]补＝[X]补*(0.Y1,Y2, … ,Y n) + [-X]补*Y0证毕。

五、常见证法存疑与解惑在证明X<0, Y>0的情况时，有些书上是这样证明的：因为[X]补＝2+X＝2n+1+X （mod 2）所以[X]补*[Y]补＝[X]补*Y＝（2+X）*Y （mod 2）＝（2n+1+X）*Y （mod 2）＝2n+1Y+XY （mod 2）＝2n+1（0.Y1,Y2, … ,Y n）+XY （mod 2）因为2n（0.Y1,Y2, … ,Y n）是个大于或等于1的正整数，所以2n+1（0.Y1,Y2, … ,Y n）＝2 （mod 2）所以[X]补*[Y]补＝2+XY （mod 2）＝[XY]补我的第一个疑问是：当2+X＝2n+1+X （mod 2）时，（2+X）*Y≡（2n+1+X）*Y （mod 2）吗？显然，左右两边不是恒等的。

因为Y为小数，所以在模2的情怳下，2Y不恒等于2n+1 Y，所以上式不成立。

我的第二个疑问是：[X]补*Y＝（2+X）*Y （mod 2）吗？我们很容易产生这样的误区，认为上式是相等的。

但是仔细推敲一下，便会发现，上式左边是补码运算，遵守补码运算法则。

而右边是真值运算，可以看作原码运算，遵守原码运算法则。

更细一步说，在进行右移运算时，上式左边空位补1，右边空位补0。

所以，上式不成立。

我的第三个疑问是：[X]补*Y到底等于什么呢？下面我们就来解决这一疑问。

设[X]补＝（11…1）X0.X1,X2, … ,X n设2+X＝（00..0）X0.X1,X2, … ,X n上面括号里的1或0是为该数右移时补空位用的，遵守原码空位补0、补码空位补1原则。

因为X是负数，所以X0＝1，对于原码范畴的2+X来讲，发生溢出，右移一位时空位补1。

所以：右移1位时，[X]补＝（11…1）1.X0,X1,X2, … ,X n2+X＝（00..0）0.X0,X1,X2, … ,X n两者相差1。

右移2位时，[X]补＝（11…1）1.1,X0,X1,X2, … ,X n2+X＝（00..0）0.0,X0,X1,X2, … ,X n两者相差1.1。

……又[X]补*Y＝0.1Y1[X]补+0.01Y2[X]补+ … +0.00 … 01Y n[X]补（2+X）*Y＝0.1Y1（2+X）+0.01Y2（2+X）+ … +0.00 … 01Y n （2+X）两者相差1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……所以[X]补*Y＝（2+X）*Y+1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……（mod 2）＝2（0.Y1,Y2, … ,Y n）+XY+1 Y1+1.1 Y2+1.11 Y3+……（mod 2）＝2（Y1+Y2+ … +Y n）+XY （mod 2）因为Y1+Y2+ … +Y n是大于或等于1的正整数，所以上式＝2+XY （mod 2）＝[XY]补这里需要说明一下，因为[X]补*Y过程中一直在进行模2运算，所以后面必须有模2操作。

六、结束语由于本文采用Word2003格式编写，不便举例，还望谅解。

注1：这是补码的真值表示公式，同样适用于非负数，这里不再证明。

参考文献1、计算机组成原理PPT－刘子良2、补码一位乘法的证明－quzy。