３ ． 标度不变性： 是一种无周期的有序。在由分ａ ｂ ｎ 常数系。 Ｉ Ｕ 该常数系是倍周期分岔到
混沌的普适性数童特征。
的解或过程， 也就是说， 系统的长期动力学行为从理论上可以预 测。但对非线性系统而言， 上述过程可能具有规范行为， 也可能 由于对初始值的极微小扰动， 而引起结果或过程的巨大变化， 即 系统对初始值的依赖性十分敏感， 这就是人们通常所说的“ 蝴蝶
效应” 。
４ ． 对初始条件的 敏感依赖性： 初始条件稍有差别或微小扰 动， 都会使系统最终状态出现巨大的差异。因 而， 混沌系统的长
期演化行为是不可预测的。
（ 三） 混沌系 统的判定［ ］ ３
１ ． 通过数值计算， 观察系统的相图结构
现代科学中的混沌， 不同于以往人们想像的那样“ 一片混 乱” 、 “ 无次序” 等， 而是指那些不具备周期性和对称性特征的有
Ｘ ， 十 １ ＝ 几 （ ｔ） Ｘ
三、 非线性金触系统的统计检验 玩， ） 为金融系统序参盆， 其中 包括金融管理者不可控制的环境 对于非线性金融系统， 传统的线性计量度（ 如自回归函数或 变量和可控制的管理决策变量。 都不能精确地刻画其性质。随机时间序列和混 研究表明， 对于上述的非线性系统， 随着序参量 入 的变化， 傅里叶功率谱） 必须采用非线性统计平均量， 如 系统的 状态ｘ ｔ十 １ 就会从单一平衡态经过不断分叉进人倍增周期 沌时间序列都有很宽的功率谱， 对于混沌系统． 该量较小； 而对于 状态， 而后过渡到混沌。随着久 维数的进一步增大， 系统的行为 非线性短期预测误差统计量（ 该量较大） ； Ｌ ｙ ａ ｐ 明ｏ ｖ指数为刻画相邻轨道发散的速 就会越加复杂化沐的每一分量的细微增大或减少， 都会导致截 随机系统， 分维为动力系统的自 由 度或复杂程度。 然不同的状态行为。这一分析表明， 金融系统除了能够产生德 率； 关联维数能区分确定性系统和随机性系统， 进而对系统进 定平衡的行为、 周期性变化行为和不稳定发散的行为之外， 还能
［ 文 章 编 号］ １ ０ ４ ０ 一 ２ ７ ６ ８ （ ２ ０ ０ ４ ） ０ ８ 一 ． 司 ０ ５ ９ 一 刃 ３
１ 如耐１ 伊 （ ｘ ） 一 伊 （ ｙ ） 卜０ ２ ． 对于所有周期点ｘ ｅ Ｊ ， 所有ｙ 任 ： ５ ｌ ｉ ｍ ｕ ｓ ｐ ｛ 伊 （ ｘ ） 一 于 （ ｙ ） ！ ＞ ０ 则映射０ 在不规则集合 ５ 上是混沌的。 （ 二） 混沌的特征侧 １ ． 随机性： 确定性系统内 部随机性的反映， 不同于外在的随 机性， 系统是由确定性的方程描述， 而且无佑附加任何随机因 素， 但系统仍会表现出一定的随机性。 ２ ． 分形性： 各种奇怪吸引子都具有分形结构， 由分维数来描
２ ． 计算系 统的 李亚 普诺夫（ Ｌ ｙ ａ ｐ ｖ ） ｏ ｎ ｕ 指数， 若指数为正， 则
认为系统是混沌的
序 状态， 是无序之中 的 有序。 其精确定义如下〔 ‘ 〕 ： 定义１ 如果乎 （ ｘ ） ＝ ｘ 且口 （ ｘ ） ＝ ｘ （ ０ ＜１ ＜ ｋ ） ， 则ｘ 是ｋ 周
医醚夔鳖夔夔丝夔夔到
一 碴亘亘亘画亘亘画
基于混沌理论的金融系统研究
俞向前， 王三义， 万威武
（ 西安交通大学 管理学院， 陕西 西安 ７ １ ０ ０ ４ ） ９
【 摘 要】 本文首先介绍了 混沌理论， 包括混沌的定义、 特征及判定方法； 其次， 墓于混沌理论研究了 金融系统； 最后， 讨论了 混沌理论在非线性金融系 统的 统计检验和金融系 统控制等方面的应用。 【 关 健 词】 金触系统； 混沌 理论
行短期预测． 但相空间重构技术要求的时间序列较长。同时， 至 人们开始寻 根据混沌的特征， 可以从两个方面来考察金融系统的行为 今还未完全搞清楚关联维数的金融学含义。因此， 它能检验一个系统是线性系统还是非线性 是否 属于混沌： 一是看金融系统的 行为是否具有随机不确定性； 求这样一个统计量。 事实上， 对预测来说， 关键的问 题不是要区分系统是随机 二是看金融系统的未来状态是否具有对初始微小事件（ 变化少 的 系统。 的咬确定约， 而只臀知道系统南是否有非线性结构存在， 从而确 致感依赖性。 定是万可甲 非线性预测方扶来对系统进行预测。 （ 二） 金触奇怪吸引子
述其特征。
一、 混沌理论
（ 一） 混沌的定义 所谓混沌（ Ｃ 抽 伪） ， 是指在确定性系统中出现的类似随机现 象的过程， 是一种貌似无规则的运动。这里的确定性系统， 是指 其结构相对稳定， 且各要素或子系统之间具有明确的内在关系，
对于一个给定的初始值或初始状态， 该系统都给出一个确定性
期的， 并称为映射 ６ 的周期点。 定义 ２ 如果对于所有 ｘ 任 Ｊ ， （ｘ ６ ）〔 Ｊ ， Ｊ 是实数域Ｒ上的区 间， 若存在不可数集合５ 仁Ｊ （ 包括非周期点） ， 满足下述条件：
３ ． 计算系 统的关联维数或牵斯道夫（ Ｆ 坛 ｕ 目 。 讨 １ ） 维数， 若这 些堆数为分数， 则认为系统是混沌的 ４ ． 计算系 统的拓扑嫡或浏度嫡， 若它们为正， 则认为系统是
： 是任意选取的一个较小的正数。
一般根据所取的。 值与对应的Ｄ （ 。 ， ｍ ） 值， 作出Ｉ ｎ ｃ Ｌ 。 ， 。 ； 一
玩 ： 曲 线， 直线的斜率就是Ｄ （ 。 ． ｍ ） 。 ３ ． 不断提高嵌人维数ｍ， 重复上述的步骤２ ， 直到ｍ达到某
一值叭 时。 相应的Ｄ （ 。 ， ｍ ） 不再随ｍ的增大而发生有意义的变
混沌的
５ ． 分析系 统的功率讲， 若功率讲是连续的， 则认为系 统是流
沌的
１ ． 对于所有ｘ ， ｙ ｅ ｓ 且ｘ 井ｙ ， 有： １ 而ｓ ｕ ｐ ｝ 伊 （ ｘ ） 一 伊 （ ｙ ） ｝ ＞ ０
［ 收稿日 期１ ２ ０３ 一 １ １ 一 ０ ３ 【 作者简介】 俞向 前（ １ ６７ ９ 一 ） ， 男， 映西石泉人， 西安交通大学管理学院博士研究生， 研究方向： 金触和证券； 王三义（ １ ６７ ９ 一 ） ， 男， 河南扶沟人， 西 安交通大学管理学院博士 研究生， 研究方向： 企业 节理、 战略管理； 万 威武（ １ ３８ ９ 一 ） ， 男， 陕西户县人． 西安交通大学管理学院教授、 博士生导师． 研究方
向： 技术经济和企业管理。
５ ９
万方数据
二、 金融系统中的混沌
任何层次上的金融系统， 都是一个服从耗散绘构理论的非 线性的、 开放的 动态系统， 其动态行为一方面受制于环境的非 甲 衡约束， 另一方面更主要地取决于系统内的非线性因欢的相慈 作用。传统的数理经济学方法总是假定系统是稳定的， 为图通 过线性化来消除系统的非线性特征， 强调“ 稳定” 、 “ 均衡” 、 和“ 台 理行为” 等， 从而会导致失真， 甚至相反的结论。方了奥吸一 打 泣 对于一 找 、 金融时间 序列为， 为， 一、 、， 枪空间 重构技术主 要 局限， 作为非线性动力学方法之一的混沌理沦。 逐舒运燕二金融 系统的研究中来， 它表明一个金融系统所处的不产伏态取失于 有以 下 几 个 步 骤飞 扩 ： 飞 选 禅敷 人 空闯 维数： 。 ， 然后岭序砚‘ 划牡 １ 嵌入 其中， 具体 系统的参数。当参数在一定范围内连续变化时 不统从德定次 态经过倍周期分岔， 演化到２ 周期态、 ４ 男期态再周欺态， 。 一 ， 嵌 人 方法 是 将｛ 澎脸转 化为ｍ维 空间 的 一个 点 序列｛ ； ： ’ 沙 ； 讥 一 ’ ， 最后进人混沌状态。因而， 可以通过对混沌模型的分析， 咬出金 这 样 就可以 得到 一｝ 、 与、 ｘ 、 、 推 ： 相 对 应的、 ｎ 维 空间的 一 个 点序 列
［ 中 圈 分类 号】 咫３ ０ ； 兄２ ４ ． １ ［ 文 献 标识 码］ Ａ
近年来， 复杂性研究日 益引 起国内 外理论者的 关注， 正逐步
成为世界科学发展的热点和前沿领域， 人们试图通过复杂性的 研究来解决生命、 人脑、 生态、 社会、 金融、 管理等科学领域的问 题。复杂科学与金融研究的结合是复杂科学发展的一个重要方 面， 人们开始把复杂科学的理论和研究成果运用到金融系统的 研究中来， 并不断产生出引起金融界高度关注的新成果。本文 基于复杂科学的重要理论— 混沌理论， 研究了金融系统。
（ 其中， 凡 “ 贬 为 ， 为 一 １ ， …， 、 十 ｍ 一 １ 〕 Ｔ ） 。 ２ 依 次 取 若于 个 不用 的 值， 分别 计 算序 列｛ 习黔比 ＋ 飞 所 对右
点集的相关维数： Ｄ （ 。 ， ｍ ） “ １ 心 （ ： ， 。 诊 月 ｎ 。
金融系统本质上是一个高度复杂的非线性系纯。非线性系统的 一般特性， 如失灵性、 非兰值性、 饱和性 突变性等， 在金融系统
的运行中都有突出表现。研究证明， 金融系绞中存在非平衡相 变（ 自 组织） 的基水特征— 非对称性， 并发现 了 金融系统运杆 中的对称破缺现象。因此要客观地分析金教运行规律， 就必须
式 由 ， ｃ 、 。 ， ｍ ， 二 寺 鑫 月 ‘ 。 一 ， ， Ｘ ｊ 一 鸡 ， ‘ ） 是 ‘ ， 、 一 、 ， ‘ ＜ ： 的
的微小改变或运行状态的徽小扰动， 将其引向最佳状态。 一个金融系统的行为可以 描述为：
下 业 舰 证明 圈， 只 有当ｍ足够大时， 重构的 动力系统与原
金融系统才是几 何等价的， 因而可以通过重构运动系统的一些 几何性质来达到研究原金融系统的目 的。一般地说， 如果ｍ 》 Ｚ ｄ ＋ （其中， １ ｄ 表示原来动力系统相空间的维数） ， 那么得到的ｘ （ ） ｔ 就是原来动力系统相应的一条轨道到俨 中的嵌人， ｍ值关 系相空间动力学行为的最佳表示； ｍ太小则不足以展示复杂行 为的细致结构； ｍ太大则费时费力。
点对所占的比 例泪是 于 俪ｖ 汪北函数 啼足：
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研究金融系统运行中的非线性。 长期以来， 金融学家承认金融运行的复杂性， 但在金融规律 的研究和金融运行的调控上， 却总是回避这种复杂性。一 般认 为， 运行结果只会在量上略有差异， 不会出现质变。然而， 现实 生活中往往发生金融危机、 金融过热等现象， 即发生因确定性运 行的失稳， 而导致的从ｔ变（ 类似倍周期分岔） 到质变（ 混沌） 的 不确定性运行。混沌理论正好在这方面为金融运行的复杂变化