魔术公式
Pacejka的“魔术公式”是近期在汽车操纵动力学研究中比较流行的公式，它是用特殊正弦函数建立的轮胎的纵向力、横向力和自回正力矩模型。

因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故成为“魔术公式”。

“魔术公式”表达如下：
sin(arctan((arctan())))
v
h
Y y S
y D C Bx E Bx Bx
x X S
=+
=--
=+
其中，Y表示侧向力、纵向力或回正力矩，X表示侧偏角α或滑移率s。

现以侧向力为例说明公式中各系数的意义。

式中D--峰值因子，表示曲线的最大值
B C D
⋅⋅--侧偏角趋于零时轮胎的侧偏刚度，曲线中表示原点的斜率
E--曲线形态因子，决定曲线最大值附近的形状
C--决定曲线的形状，即曲线是像侧向力、纵向力还是回正力矩
h
S--水平方向漂移
v
S--垂直方向漂移
除C外，“魔术公式”中的参数都是垂直载荷和侧倾角γ的函数。

以下为轮胎纵向动力学特性在MATLAB中的具体实现
2
12
x z z
D a F a F
=+
1.65x C =
2678x z z E a F a F a =++
5234()///z a F x z z x x B a F a F e C D =+
5
2
34
2
12
2
67
8
sin(arctan((arctan())))
()///
1.65
z
x x x x x x x
a F
x z z x x
x
x z z
x z z
F D C B E B B
B a F a F e
C D
C
D a F a F
E a
F a F a
κκκ
=--
=+
=
=+
=++
sin(arctan((arctan())))
(arctan((arctan()))) cos(arctan((arctan())))
x x
x x x x x
z z
x x x x x x x x x x x
z
dF dD
C B E B B
dF dF
d B E B B
D C B
E B B C
dF
κκκ
κκκ
κκκ
=--+
--
--
2
(arctan((arctan())))
(arctan()) 1
((arctan())) 1((arctan()))
x x x x
z
x x x x
x x x
x x x x z z z
d B E B B
dF
dB dE d B B
B B E
B E B B dF dF dF
κκκ
κκ
κκκ
κκκ
--
=
-
---
+--
2
22
(arctan())()
1
1()1()
x x x x x x
z z x z x z
d B B dB dB B dB
dF dF B dF B dF
κκκ
κκκ
κκ
-
=-=
++
5
5
55
22
3434
222
34345
(()///)()
///
(()///)(()///)
z
z
z z
a F
a F
x z z x x z z
x x
z z z
a F a F
x
z z x x z z x x
z
dB d a F a F e C D d a F a F
e C D
dF dF dF
dD
a F a F e C D a F a F e C D a
dF
++
==
-+-+
sin(arctan((arctan())))
x x x x x x x
F D C B E B B
κκκ
=--
2
2
cos(arctan((arctan())))(())
1()
1((arctan())
x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x
B
D C B
E B B C B E B
dF B
d B E B B
κκκ
κ
κκκκ
----
+
=
+--
车辆防抱死制动系统的控制技术研究
东大，侯光钰，张为公 2.3.1 H.B.Pacejka 的魔术公式
Pacejka 的“魔术公式”是汽车操纵动力学研究中应用比较广泛的轮胎力学模型，它用特殊的正弦函数建立轮胎的纵向力、横向力和回正力矩的函数表达式。

因只用一套公式就完整地表达了单一工况下轮胎的力特性，被成为“魔术公式”。

魔术公式的表达式为：
()()(){}
sin arctan 1arctan y x D C B E x E Bx =-+⎡⎤⎣⎦（2-27）
式中()y x 可以是侧向力、纵向力或回正力矩，自变量x 可以在不同的情况下分别表示轮胎侧偏角或纵向滑移率，B 、C 、D 、E 是与轮胎所受的垂直载荷、轮胎外倾角以及路面附着情况等相关，根据不同的输出量，其对应的拟合系数也不同。

以沥青路面的轮胎测量数据为例进行曲线拟合，得到如下公式： （1） 单一制动工况下纵向力特性
在纯制动工况下，轮胎的纵向力与滑移率和轮胎垂直载荷之间的关系用（2-27）的形式表示为：
()()(){}
,sin arctan 1arctan x z F F D C B E E B λλλ=-+⎡⎤⎣⎦
其中的参数如下：
52122342678
1.65
z
z z z z a F z z D a F a F C a F a F B CDe E a F a F a =+=+=
=++ （2）单一制动工况下侧向力特性
单一制动工况下，轮胎侧向力与轮胎侧偏角和轮胎垂直载荷之间的关系如下：
()()()()(){}
,sin arctan 1arctan y z h h v F F D C B E S E B S S ααα⎡⎤=-++++⎣⎦
其中2
12
z z D a F a F =+
()()()
()34512
26789210111.3sin arctan 1z z z h v z z C a a a F B a
CD
E a
F a F a S a S a F a F γ
γ
γ
==
-=++==+
（3） 单一制动工况下回正力矩特性
()()()()(){}
,sin arctan 1arctan z z h h v M F D C B E S E B S S ααα⎡⎤=-++++⎣⎦
其中：212z z D a F a F =+
()
()()()5234122678139210112.4
1/1z
z z a F z z h v z z C a F a F B a CDe E a F a F a a S a S a F a F γγγ
γ
=⎛⎫+=- ⎪⎝⎭=++-==+
模型中的B 、C 、D 、E 、S h 、S v 都是轮胎垂直载荷F z 的函数，α为轮胎的侧偏角，γ为轮胎的外倾角，可根据实验来确定系数a1，a2，…，a13。

各个系数在干沥青路面情况下的值如表2.1和表2.2所示。

轮胎的纵向滑移率定义如下：
v R
v
ωλ-=
其中，λ为车轮的纵向滑移率、v 为车辆行驶的前进速度、ω为车轮的角速度、R 为车轮的滚动半径。

轮胎的侧偏角α定义为轮胎的中心平面与地面的交线与轮胎行驶速度v 方向之间的夹角。

当进行整车动力学仿真，轮胎的侧偏角由下式给出：
1
1
1
1
tan 2tan 2tan 2tan 2y f fl f x y f fr f x y r rl f x y r rr r x V L r a T V r V L r a T V r V L r a T V r V L r a T V r δδ----⎛
⎫ ⎪+=- ⎪
⎪+ ⎪⎝
⎭⎛
⎫ ⎪+=- ⎪
⎪- ⎪⎝
⎭⎛
⎫ ⎪-=- ⎪
⎪+ ⎪⎝
⎭⎛
⎫ ⎪-=-
⎪ ⎪
-⎝
⎭ 公式中第一个下标f 和r 表示前轮和后轮，第二个下标的l 和r 表示左侧和右侧。

Shape factor Cx
1x x x C PC LC =
Peak factor Dx
()()()(
)2
1231x z scl lmux pdx pdx z pdx lgax D F F P P P df P P γ=+-
Stiffness factor Kx
()321x z PK df xk x z x z x K LK F PK df PK e =+。