⎤ ∂ 1 ∂u ∂u 1⎡ ∂ wz = ( y − x ) = ⎢ (bx − 2ay ) − (2ax + by ) ⎥ = 0 2 ∂x ∂y 2 ⎣ ∂x ∂y ⎦
速度场为无旋流动，存在速度势函数。 （2）无旋故势函数为
ϕ = ∫ (2ax + by )dx + ∫ (bx − 2ay )dy = ax 2 − ay 2 + bxy + C
⎛ ⎜0 ⎜ 3 ε ij = ⎜ ⎜2 ⎜ 3 ⎜ ⎜ ⎝2 3 2 0 3 2 3⎞ 2⎟ ⎟ 3⎟ 2⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎠ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 3 1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ 1 3 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ 1 3
4. 涡量场 Ω ；
Ω = 2ω = i + j + k 。
5. 求涡线方程。
∫∫ P dA = P0 ⋅ π r02 − Px ⋅ π r02 − D
n A
1 ∴ πρ u 2 r02 = P0 ⋅ π r02 − Px ⋅ π r02 − D 3
即:
1 D = π r02 ( P0 − Px − ρ u 2 ) 3
压力为 p a ，求水流空的时间。
得证。
八、等截面敞口直管道盛水如图所示。C 处阀门突然打开，向大气喷水。设大气
对 于 C 点 ， 有 P = Pa ， z = 0 ， l = h + L 。
gh − dV (h + L ) = 0 ⇒ dV = gh dt dt h+L
故在 C 点处，
又
2 dV dV dh dV (− V ) = − 1 d (V ) = = dt dh dt dh 2 dh
d (V 2 ) 2 gh L ⎞ gh 1 d (V 2 ) ⎛ ∴ =− ⇒ =− = −2 g ⎜ 1 − ⎟ h+L 2 dh dh h+L ⎝ h+L⎠
解：若液体从某点 D 开始下降， ∫0
⇒
l
⎛V 2 P ⎞ ⎛V 2 P ⎞ ∂V ⎟ dl + ⎜ + + gz =⎜ + + gz ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂t ⎝ 2 ρ ⎠l ⎝ 2 ρ ⎠D
P
ρ
=
Pa
ρ
+ g (h − z ) −
∂V ∂V dV = l ，其中， l = h − z ， 。 ∂t dt ∂t
（3）流函数为
ψ = ∫ (2ax + by )dy − ∫ (bx − 2ay )dx = by 2 − bx 2 + 2axy + C
六、密度为 ρ 的两股不同速度的不可压流体合流，通过一段平直圆管道混合后速 度与压力都变均匀，如图所示。如两股来流面积均为
1 2
1 2
A1 ，压力相同。一股流速 2 为 V，另一股流速为 2V。假定管道壁面摩擦力不计，流动定常绝热。证明单位 3 时间内机械能损失为 ρA1V 3 。 16
求在 ( x0 , y0 , z0 , t0 ) 处温度的质点导数。 解：由质点导数公式得
DT ∂T ∂T ∂T ∂T = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
∂T ∂T ∂T ∂T = = 0， = T0′( x) = −2αγ t exp(−γ t 2 ) ， ∂y ∂z ∂x ∂t
DT = −2αγ t exp(−γ t 2 ) + U ( y )T0′( x) Dt
可以看出，涡线方程与流线方程完全相同。 五、已知速度场为 u x = 2ax + by ， u y = bx − 2ay ， u z = 0 ，式中 a、b 为常数。 （1）判断流动是否无旋； （2）如为无旋，求速度势函数 ϕ ； （3）求速度流函数ψ 。
解： （1）已知流动为平面流动， wx = wy = 0 ，
∂w ∂v 2k 2 y Ωx = − =− ∂y ∂z C 2 − 2k 2 ( x 2 + y 2 ) Ωy = ∂u ∂w 2k 2 x − =− ∂z ∂x C 2 − 2k 2 ( x 2 + y 2 ) Ωz = ∂v ∂u − = 2k ∂x ∂y
涡线方程为：
dx dy dz dx dy dz ， ， = = = = 2 −ky kx Ωx Ω y Ωz C − 2k 2 ( x 2 + y 2 )
1 V 2V 2 A1 2 A1 2
1
2
x
证：取控制体如图虚线所示。 由连续方程知：
∫∫ ρ ( V in )dA = −
A
∂ ρ dτ ∂t ∫∫∫ τ
∫∫ ( Vin )dA = 0
A
V
A1 A + 2V 1 = V2 A1 2 2 3V 2 (2)
所以， V2 =
由动量方程在 x 方向投影，并利用（2）得：
将 ( x0 , y0 , z0 , t0 ) 代入公式右边各项，就可得某时空点的温度质点导数。
三、给定直角坐标系的速度场： u = x y + y ， v = x − xy ， w = 0 ，分别求各线
2 2 2 2
变形与角变形。 解：线变形为：
ε xx =
角变形为：
∂u ∂v ∂w = −2 xy ， ε zz = = 0， = 2 xy ， ε yy = ∂y ∂z ∂x
r
U
r0
0
X
u (r )
x
证： （1）选择图中 1-1，2-2 两断面及圆筒管壁所围的体积为控制体。
∴ u ⋅ π r 2 = ∫ u (r )dA
0
r0
= ∫ C (r02 − r 2 )d (π ⋅ r 2 )
0
r0
= 2π C ⋅ ∫ (r02 − r 2 ) ⋅ rdr
0
r0
1 1 r0 = 2π C[ r02 ⋅ r 2 − r 4 ]0 2 4 1 = π Cr04 2
Δh dh ，∴ Δt = − ， dt V
Δt = ∫ dt = − ∫
∵ 当 t = 0 时， h = L ， V = 0
V h⎛ L ⎞ V 2 = ∫ dV 2 = −2 g ∫ ⎜1 − ⎟dh 0 L ⎝ h+ L⎠
⇒ V 2 = 2 g (L − h ) + 2 gL ln
h+L 2L
∴V = 2 g (L − h ) + 2 gL ln
h+L 2L
又知 V = −
将（2） 、 （3）代入（1）得：
(3)
∫∫ ( p iV )dA − ∫∫
n A Aຫໍສະໝຸດ ⎡⎛ V 2 ⎞ ⎤ e ρ V i n + ( ) ⎢⎜ ⎥dA = 0 ⎟ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦
∫∫
A
⎡V 2 ⎤ − p i V dA ( n ) ∫∫ ⎢ ρ (V in ) ⎥dA = ∫∫ ⎡ ⎣eρ (V in ) ⎤ ⎦dA 2 ⎦ A ⎣ A
Dv ∂ v ∂v ∂v ∂v = +u + v +ω Dt ∂t ∂x ∂y ∂z =(4 x + 4 y + z )i + (4 y + 4 z + x) j + (4 z + 4 x + y )k
∂v =0，时变加速度为 0； ∂t 位变加速度
v ⋅∇v = (4 x + 4 y + z )i + (4 y + 4 z + x) j + (4 z + 4 x + y )k a x = 4 x + 4 y + z , a y = 4 y + 4 z + x, a z = 4 z + 4 x + y
ε xy = ε yx = (
1 ∂u ∂v x2 − y2 + )= + x+ y， 2 ∂y ∂x 2
ε yz = ε zy = (
1 ∂w ∂v 1 ∂w ∂u + ) = 0 ， ε xz = ε zx = ( + ) = 0 ， 2 ∂y ∂z 2 ∂x ∂z
四、已知速度分布为: u = −ky ， v = kx ， w = C 2 − 2k 2 ( x 2 + y 2 ) ，求证流线与涡 线平行，式中 k , C 为常数。 解：
。
a = ax 2 + a y 2 + az 2 = (4 x + 4 y + z ) 2 + (4 y + 4 z + x) 2 + (4 z + 4 x + y ) 2 = 33( x 2 + y 2 + z 2 ) + 48( xy + xz + yz )
2. 旋转角速度 ω ；
ωx = ⎜ − ⎟ = (2 − 1) = 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ 2 2 ω y = ⎜ − ⎟ = (2 − 1) = 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ 2 2 。 ωz = ⎜ − ⎟ = (2 − 1) = 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 2 ω = i+
r
8u 2 0 4 = −πρ u r + πρ 4 ∫ (r0 ⋅ r + r 5 − 2r02 ⋅ r 3 )dr r0 0
2 2 0
8πρ u 2 1 4 2 1 6 2 2 4 r0 [ r0 ⋅ r + r − r0 ⋅ r ]0 = −πρ u r + 6 4 r04 2
2 2 0
1 = πρ u 2 r02 3
得证
七、圆管内不可压缩定常流动如图，入口处流速 U 均匀，在某截面 X 处为抛物形
速度分布 u (r ) = C (r02 − r 2 ) ，其中 r0 为离管轴的径向距离， C 为一未知常数，入 口处和 X 处管截面压力均匀分布，分别为 p 0 和 p x ，流体密度 ρ ，不计重力（忽 (2)由动量定理证明作用在 0 至 X 略质量力） 。 试： (1)由连续性方程确定常数 C ； 1 间管壁上总的摩擦阻力 D = π r02 ( p 0 − p x − ρU 2 ) 。 3