数据,如物体的高度、有关边长、底面半径等,我们就可以计算出该 物体的体积或表面积
温馨提示 由物体的三视图想象几何体的形状从如下途径进行分析:(1)根据主 视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状;(2) 根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的部分;(3)熟记一些简 单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助;(4)由三视图画 几何体与由几何体画三视图是互逆的,应反复练习,不断总结方法
解析 根据题意画出图形,如图5-2-3.
方法总结 在画三视图时,一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出 来,看得见的部分的轮廓线要画成实线,看不见的部分的轮廓线要画成 虚线,不能漏掉.
知识点三 由三视图确定物体的形状及计算
由三视图 由三视图想象几何体的形状,首先应分别根据主视图、俯视图和左 确定物体 视图想象几何体的正面、上面和左面,然后综合起来考虑整体图形. 的形状 由物体的三视图可以确定物体的形状,如果在三视图中给出有关的
图5-2-5
解析 如图所示:
6.在图5-2-6中的指定位置画出实物图的三种视图. 图5-2-6
解析 三视图如下:
主视图
左视图
俯视图
知识点三 由三视图确定物体的形状及计算 7.(2018湖北襄阳中考)一个几何体的三视图如图5-2-7所示,则这个几何 体是 ( )
图5-2-7
答案 C 根据主视图和左视图为矩形判断出这个几何体是柱体,根据 俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱.
8.(2018山东泰安中考)图5-2-8是下列哪个几何体的主视图与俯视图 ()
图5-2-8
答案 C 四个选项中的几何体的主视图与俯视图分别是弓形与圆 环、半圆形与圆、半圆形与长方形、半圆形与三角形,故只有选项C符 合题意.
9.(2018山东临沂中考)图5-2-9是一个几何体的三视图(图中尺寸单位: cm).根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是 ( )
解析 (1)如图所示. (2)几何体的表面积为(3+4+5)×2=24.
1.(2018山东济宁中考)一个几何体的三视图如图5-2-11所示,则该几何 体的表面积是 ( )
A.24+2π
B.16+4π
图5-2-11 C.16+8π D.16+12π
答案 D 几何体如图所示.该几何体的表面积等于两个半圆、一个正 方形、一个曲面的面积之和.由主视图知,底面圆的直径为4,所以两个底 面的面积和为π×22=4π.正方形的面积就是主视图的面积,即为4×4=16. 曲面展开后是一个长方形,它的一边长为底面的弧长,即为π×2=2π,相邻 的另一边长为4,所以曲面的面积为2π×4=8π,于是该几何体的表面积为 4π+16+8π=16+12π.
解析 (1)图5-2-10③是从正面看得到的平面图形,图5-2-10④是从上面 看得到的平面图形,图5-2-10⑤是从左面看得到的平面图形.
(2)由题图可得
x x
y y
2, 12,
解得
x y
7, 5,
5×3×2=30(cm3),
故图5-2-10①中上面的小长方体的体积为30 cm3.
素养呈现 直观想象的核心素养要求我们能由物体的形状想象出几何 图形,由几何图形想象出物体的形状.
知识点一 视图及常见几何体的三视图 1.(2018吉林中考)图5-2-1是由4个相同的小正方体组成的立体图形,它 的主视图是 ( )
图5-2-1
答案 B 主视图是从正面看到的视图,由实物图知从正面看到的是4 个小正方形,有3列,其中左边一列有1个小正方形,中间一列有1个小正方 形,右边一列有2个小正方形,故选B.
cm.
图5-2-10
答案 4 2
解析 根据三棱柱的俯视图、左视图知,AB的长为点E到FG的距离,如
图,过点E作EH⊥FG于点H,在Rt△EFH中,EF=8 cm,∠EFG=45°,
∴sin∠EFH=
EH EF
,∴AB=EH=8sin
45°=4
2 (cm).
1.(2018湖南怀化中考)下列几何体中,其主视图为三角形的是( )
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第五章 投影与视图
知识点一 视图及常见几何体的三视图
内容
视图
当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图
三视图
用三个互相垂直的平面作为投影面,其中正对着我们的平面叫做正面,下方的 平面叫做水平面,右边的平面叫做侧面. 一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的 视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图; 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图
2.(2017湖北荆州中考)图5-2-12是某几何体的三视图,根据图中的数据, 求得该几何体的体积为 ( )
A.800π+1 200 C.3 200π+1 200
图5-2-12 B.160π+1 700 D.800π+3 000
答案 D 由三视图可知,几何体由一个圆柱和一个长方体组成,圆柱的 底面直径为20,高为8,长方体的长为30,宽为20,高为5,故该几何体的体积 为π×102×8+30×20×5=800π+3 000.
图5-2-8
解析 (1)台阶有三级,如图5-2-9.
图5-2-9 (2)由主视图知台阶长为6 m,由左视图知台阶宽为6 m,高为1 m,则地毯 的面积为6×6+1×6=42(m2).42×50=2 100(元). 答:铺上地毯需要2 100元.
由几何体的视图进行计算
素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与 变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括: 借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描 述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索 解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要 手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基 础.在直观想象核心素养形成的过程中,我们要能够进一步发展几何直 观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数 形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.
图例
几种常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
例1 若一节电池如图5-2-1所示,则它的三种视图是 ( )
图5-2-1
解析 根据三种视图的观察方法,分别得出三种视图的形状.从正面看, 得到下面是大矩形、上面是小矩形的组合图形;从左面看,得到下面是 大矩形、上面是小矩形的组合图形;从上面看,得到一个圆环.故选D. 答案 D 点拨 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面来观 察物体而得到的视图.
3.图5-2-13是一个包装纸盒的三视图(单位:cm).
(1)该包装纸盒的几何形状是
;
(2)画出该纸盒的平面展开图;
(3)计算制作一个纸盒所需纸板的面积.(精确到个位)
图5-2-13
解析 (1)正六棱柱. (2)如图.
(3)由三视图可知该几何体的上、下底面是边长为5 cm的正六边形,侧 面是6个边长为5 cm的正方形, 则该几何体的表面积为6×52× 3 ×2+6×5×5=75 3 +150=75( 3 +2)≈280(cm2).
2.(2018湖南永州中考)图5-2-2中几何体的主视图是 ( ) 图5-2-2
答案 B 主视图是从正面看到的视图,由实物图知右上角的部分没有, 所以没有虚线部分,其他均为实线.
3.(2019北京海淀期末)从图5-2-3①的正方体上截去一个三棱锥,得到一 个几何体,如图5-2-3②,从正面看该几何体所得到的平面图形是 ( )
答案 B 根据几何体的特征及放置位置,可以判断选项B符合左视图 的特征,故选B.
4.(2018贵州黔东南、黔南、黔西南中考)下面的几何体是由四个大小 相同的正方体组成的,它的俯视图是 ( )
答案 C 俯视图是从上面看所得到的图形,从这个几何体的上面看有 2行,从上向下数,第一行有2个,第2行有1个,且在左下方.故选C.
答案 D 主视图是指从正面看到的图形,从左到右四个图形的主视图 分别是长方形、正方形、圆、三角形,故选D.
2.(2015广西桂林中考)下列四个物体的俯视图与给出视图一致的是 ()
答案 C 俯视图的中间是一个与矩形两边相切的圆,可排除A、B、D, 故选C.
3.(2016湖南常德中考)如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么 这个几何体的左视图是 ( )
典例剖析 例 图5-2-10①是由两个长方体所组成的立体图形,图5-2-10②中的长 方体是图5-2-10①中的两个长方体的另一种摆放形式,图5-2-10③④⑤ 是从不同的方向看图5-2-10①所得的平面图形.
图5-2-10
(1)填空:图5-2-10③是从
面看得到的平面图形,图5-2-10④是从
解析 由题图可知选A. 答案 A 点拨 由三视图还原几何体时,要了解简单的、常见的规则物体的视 图,还要善于分析和想象.
题型二 根据视图确定构成几何体的小正方体的个数
例2 由n个相同的小正方体堆成的几何体,其主视图和俯视图如图5-27所示,则n的最大值是 ( )
图5-2-7
A.18
B.19
C.20
面看得到的平面图形,图5-2-10⑤是从
面看得到的平面图形;
(2)请根据各图中所给的信息(单位:cm),计算图5-2-10①中上面的小长方
体的体积.
分析(1)主视图是从几何体的正面看所得到的图形,俯视图是从几何体 的上面看所得到的图形,左视图是从几何体的左面看所得到的图形; (2)根据图5-2-10⑤可得图5-2-10①中上面的小长方体高为2 cm,宽为 3 cm,进而可算出图5-2-10①中上面的小长方体的体积.