指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1 ．根式（ 1 ）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 x na , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次na零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反na ( a0) 负数没有偶次方根数（ 2 ）．两个重要公式an 为奇数① n a na( a 0)；| a |0) n 为偶数a(a② (n a ) na （注意 a 必须使 n a 有意义）。
2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念mna m (a①正数的正分数指数幂 : an0, m 、 n N ,且 n 1) ;m11②正数的负分数指数幂 : an0, m 、 n N , 且 n 1)m(aa nna m③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（ 2 ）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q);③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=a x a>10<a<1图象定义域R值域（0，+ ）性质（ 1 ）过定点（0，1）（ 2 ）当 x>0 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 0<y<1;x<0 时 ,0<y<1 x<0 时 , y>1(3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数数注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1 ）对数的定义如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2 ）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 e ln N2、对数的性质与运算法则（ 1 ）对数的性质（a 0,且a 1 ）：①log a1 0 ，② log a a 1，③a log a N N ，④log a a N N 。
（2 ）对数的重要公式：N①换底公式：log b N loga (a,b均为大于零且不等于 1,N 0) ； log a b② log a b1 a。
log b（3 ）对数的运算法则：如果 a 0,且a 1 ，M 0, N 0 那么① log a (MN ) log a M log a N ；② log a Mlog a M log a N ；N③ log a M n n log a M ( n R) ；④ log a m b n nlog a b 。
m3、对数函数的图象与性质a 10 a 1图象性（ 1 ）定义域：（ 0,+）质（2）值域： R（3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1 ， 0 ）（ 4）当0 x时，y ( ,0)；（ 4 ）当x 1时，y ( ,0)；1当 x 1 时，y (0, ) 当 0 x 1时，y (0, ) （ 5）在（ 0,+ ）上为增函数（ 5 ）在（ 0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数 a ， b ， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线y=1 ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.4 、反函数指数函数 y=a x与对数函数 y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
（三）幂函数1 、幂函数的定义形如 y=x α（ a ∈ R）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2 、幂函数的图象1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ，y x 2 ，y=x -1方法：可画出 x=x 0；1当 x0 >1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ，y x2， y=x -1；1当 0<x 0 <1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1，y x2，y=x，y=x2，y=x3。
3、幂函数的性质y=x y=x 2 y=x 3 1 y=x -1y x2定义域R R R [0 ，）R且 x 0x | x值域R [0 ，）R [0 ，）R且y 0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0 ，）时，增；增增x ∈ (0,+ )时，减；x ∈ (- ,0) 时，减x ∈( ,0] 时，减定点（1，1）三：例题诠释，举一反三 知识点 1 ：指数幂的化简与求值例 1.(2007育才 A)[(33) 22113 (5 4)0.5(0.008)3( 0.02)2(0.32) 2 ] 0.0625 0.25（1 ）计算：8 9 ；4 12a 38a 3 b23 ba 3 a 2(a 322a )5a 3a（2 ）化简： 4b323 ab a 3变式：（ 2007 执信 A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:211 1 (a 3b 1 ) 2a2b 3 ;（1 ）6 a5b11215a 3b 2 ( 3a 2 b 1 ) (4a 3 b 3 )2 .（2）617 )021.5 3( 80.2542 ( 323)6(2)3 (3) 63知识点 2 ：指数函数的图象及应用例 2.(2009 广附 A)已知实数 a 、b 满足等式( 1 ) a ( 1 ) b，下列五个关系式：① 0 ＜ b ＜ a; ② a ＜2 3b ＜ 0; ③0 ＜ a ＜ b; ④b ＜ a ＜ 0; ⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个变式：（ 2010华附 A ）若直线 y 2a 与函数 y | a x 1 | (a0 且 a 1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 _______.知识点 3 ：指数函数的性质例 3. （ 2010 省实 B ）已知定义域为R 的函数 f (x)2x b 2x1是奇函数。
2（Ⅰ）求 b 的值；（Ⅱ）判断函数f x 的单调性 ;（Ⅲ）若对任意的t R ，不等式 f ( t 22t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范围．变式：（ 2010 东莞 B ）设 a ＞0,f(x)= e xa是 R 上的偶函数 .aex（ 1 ）求 a 的值；（ 2 ）求证： f(x) 在（ 0 ，+∞）上是增函数 . 知识点 4 ：对数式的化简与求值例 4. （ 2010 云浮 A ）计算：（1 ）log23(2 3)（2 ） 2(lg 2 )2 +lg 2 · lg5+ (lg 2 )2 lg 2 1 ;（3 ） 1 lg 32 - 4lg 8 +lg 245 .2 49 3变式：（ 2010 惠州 A ） 化简求值 . （1 ） log 27 +log 2 12- 1log 2 42-1;482（ 2 ） (lg2) 2 +lg2 · lg50+lg25;（ 3 ） (log 3 2+log 9 2) · (log 4 3+log 8 3).知识点 5 ：对数函数的性质例 5. （ 2011 深圳 A ）对于 0 a 1，给出下列四个不等式：① log a (1 a)log a (a1); ② log a (1 a) log a (1 1) ；aa③ a 1 a1 1④ a 1 a1 1a a ;a a ; 其中成立的是（ ）（A ）①与③（ B ）①与④（ C ）②与③（ D ）②与④变式：（ 2011 韶关 A ）已知 0 ＜ a ＜ 1,b ＞ 1,ab ＞1 ，则 log a 1 ,log a b, log b 1 的大小关系是b b（ ） A.log a 1 log a b log b 1B. log ab log a 1 log b 1b bbbC. log ab log b 1 log a 1D. log b 1 log a 1 log a bb bbb例 6. （ 2010 广州 B ）已知函数 f(x)=logax(a ＞0,a ≠ 1) ，如果对于任意x ∈［ 3 ， +∞）都有|f(x)| ≥1 成立，试求 a 的取值范围 .变式：（ 2010 广雅 B ）已知函数 f （x ） =log 2 (x 2 -ax-a) 在区间（ -∞ , 1- 3 ］上是单调递减函数 .求实数 a 的取值范围 . 知识点 6 ：幂函数的图象及应用例 7.(2009佛山 B) 已知点 ( 2，2) 在幂函数 f (x) 的图象上，点1 ，在幂函数 g (x) 的图4象上．问当 x 为何值时有： （１） f (x) g ( x) ；（２） f (x) g( x) ；（３） f (x)g ( x) ． 变式：（ 2009 揭阳 B ）已知幂函数 f(x)=xm22m 3（ m ∈ Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）b上是单调减函数 . （ 1 ）求函数 f(x);（ 2 ）讨论 F （ x ） =af （ x ） 的奇偶性 .xf （ x）四：方向预测、胜利在望1 x的定义域为（）1 ．（ A ）函数 f ( x) lg4xA ． (1，4)B ．[1 ，4)C ． (－∞， 1) ∪(4 ，＋∞ )D ．(－∞， 1] ∪ (4，＋∞ )2. （ A ）以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln2(D) ln23 （ B ）设 a>1 ，函数 f(x)=log a x 在区间［ a,2a ］上的最大值与最小值之差为1, 则 a=()2(A) 2（B ）2（C ）2 2（D ）44. （ A ）已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当0 x1 时， f (x) lg x. 设af (6 ), b f ( 3 ), c f ( 5), 则（ ）5 2 2（ A ） a b c （ B ） b a c （C ） c b a （ D ） c a b5. （ B ）设 f (x )=2e x 1, x2,则不等式 f (x )>2 的解集为（）log 3 (x 2 1), x2,(A)（ 1 ，2 ） （ 3， +∞）(B) （ 10 ， +∞）(C)（ 1 ，2 ）（ 10 ， +∞）(D) （1， 2）6．（A ）设 P log 2 3， Q log 3 2 ， R log 2 (log 3 2) ，则（）Ａ．RQPＢ．PRQＣ．QRPＤ．RPQ7 ． (A) 已知 log 1 blog 1 a log 1 c ，则 ()222A ． 2b 2a 2cB ． 2a 2b 2cC ． 2 c 2b 2aD ． 2c 2a 2b8 ．（ B ）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1 上单调递减的是（）（ A ） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C) f ( x)1 (a x a x)(D) f ( x) ln 2x2 2 x9. （ A ）函数 ylog 1 (3x 2) 的定义域是：（ ）2A [1, )B(32, )C[ 32 ,1]D ( 32,1]10.(A) 已知函数 ylog 1 x 与y kx 的图象有公共点 A ，且点 A 的横坐标为 2 ，则 k （ ）4A ．1 1114B ．C ．D ．4 2 211 ．（ B ）若函数 f (x) a x b 1(a 0且 a 1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有（）A ． 0 a 1且b 0 B ． a 1且b 0C ． 0 a 1且 b 0D ． a 1且b 012 ．(B) 若函数 f ( x) log a x(0 a1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=（ ）A.22 C.114B.4D.2213.(A) 已知 0 ＜ x ＜ y ＜ a ＜ 1 ，则有（）（ A ） log a ( xy) 0 （B ）0 log a ( xy) 1（ C ） 1 log a ( xy) 2 （ D ） log a ( xy) 214. （ A ）已知 f (x 6 )log 2 x ，那么 f (8) 等于（）4 （B ）8（C ）181 （ A ）（ D ）3215 ．（ B ）函数 y ＝ lg|x| A ．是偶函数，在区间 C ．是奇函数，在区间（ ）(－∞， 0) 上单调递增B ．是偶函数，在区间 (－∞， 0) 上单调递减(0 ，＋∞ ) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间 (0 ，＋∞ ) 上单调递减16. （ A ）函数 y lg( 4 x) 的定义域是____________________________.x 317 ．（ B ）函数 ya 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线mx ny 1 0(mn 0) 上，则 1 1 ．m 的最小值为n18 ．（ A ）设 g(x) e x , x 0. 则 g( g( 1lnx, x 0. )) __________219 ．（ B ）若函数 f(x) =2x 22ax a1 的定义域为 R ，则 a 的取值范围为 ___________. 20 ． (B) 若函数 f ( ) loga ( xx 22 a 2 ) 是奇函数，则 a = ．x21.(B) 已知函数f ( x) 1log1 x，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调x 21 x性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1. 解：（1 ） 2，（ 2 ） a 29113 5 1 3515 ab 6b 33b 2) a 2 b 2(a） 1,（23）2.(3)1104ab44 ab例2. 解：B变式：解： (0, 1) ；2例 3. 解：（Ⅰ） b1 （Ⅱ）减函数。