R a b(d 5 −1.5e 5 ) N5
= 11.4966 > 2.4(可)
本例中，各截面强度都已满足要求。
1
0
利用误差校核公式，有 Δ
11
+ 2δ
12
22
s (1+y i )2 0 EI
ds ≈ EI
∆s
0
(1 + yi )2 =30.4090EI
1
0
相对误差为∆= 0. 计算结果可靠。 五、计算载位移（不考虑拱脚截面加大的影响） 荷载作用下基本结构的各截面弯矩及轴力按下式计算
0 Mip = − 2 q x 2 = − 2 q (R sin φ i )2 = −25.3828q sin2 φ 1 1 i 0 Nip =qx sin φ i =qR sin2 φ i =
s (1+y)M p ∆s 0 EI EI 0
ds ≈
0 Mip (1 + yi ) =
相对误差为∆= 0 六、计算拱脚弹性固定系数（考虑拱截面加大的影响） 荷载作用下，基本结构拱脚处的弯矩及轴力分别为 1 0 Mp = − ql2 = −16.2450q 8 1 0 Np = − ql sin φ n = 4.5600q 2 拱顶和拱脚截面的惯性矩为
q
0
M ip0(q) 0.0000 -0.3395 -1.3399 -2.9476 -5.0766 -7.2101 -10.4211 -13.3507 -16.2450 -48.4372
Mip0yi(q) 0.0000 -0.0162 -0.2554 -1.2570 -3.8186 -7.9044 -17.2445 -29.6313 -46.2982 -81.3904
由下列公式计算得 ∆1p = ∆2p =
s Mp 0 EI s yM p 0 EI
ds ≈ EI
∆s
0
0 Mip = −40.0043 EI
ds ≈ EI
∆s
0
0 Mip yi = −67.2203 EI
q
0
校核如下 ∆1p + ∆2p =(-107.2246）EI −107.2246 EI
q
0
q
0
0 Mi = X1 + X 2 yi + Mip 0 Ni = X2 cos φ i + Nip
各截面内力计算表
截面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ψi sin ψ i sin² ψ i 0.0000 0.0134 0.0528 0.1161 0.2000 0.2841 0.4106 0.5260 0.6400 X 1(q) 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 0.6965 N ip0(q) 0.0000 0.8240 1.6370 2.4280 3.1864 3.7974 4.5653 5.1673 5.7000 M(q) 0.6965 -1.9779 -4.0941 -5.6236 -6.5460 -6.8432 -6.5281 -5.5881 -4.0413 M ip0(q) 0.0000 -2.9356 -5.8318 -8.6497 -11.3516 -13.5283 -16.2640 -18.4086 -20.3062 N(q) 5.4626 6.2500 6.9535 7.5636 8.0723 8.4195 8.7592 8.9283 8.9776 cos ψ i 1.0000 0.9933 0.9732 0.9401 0.8944 0.8461 0.7678 0.6885 0.6000 e(m) 0.1275 -0.3165 -0.5888 -0.7435 -0.8109 -0.8128 -0.7453 -0.6259 -0.4502 1-cos ψ yi=R(1cos ψ i) i 0.0000 0.0067 0.0268 0.0599 0.1056 0.1539 0.2322 0.3115 0.4000 0.0000 0.0478 0.1906 0.4265 0.7522 1.0963 1.6548 2.2195 2.8500
二、计算衬砌几何尺寸 当 l0=11.00m 时，除拟矢高 f0=2.75m，拱顶厚度 d0=0.50m，拱脚局部加厚 dn=0.80m.
0 0 拱圈内缘半径为 R0= 8f +2 =6.8750m.
0
l 2 f
拱轴半径为 R=R0+ 0 =7.1250m.
2
d
拱脚截面与竖直线间的夹角：cos ������n=
s π f 1 l 4
=
由下列近似公式计算得 δ11 = δ δ
12 s 1 0 EI
ds ≈
∆s EI 0
������ = 6.6072
∆s
0
1 EI 0 1
0
=δ
s y 21 = 0 EI
ds ≈ EI
0
yi =6.3889EI
1
0
s 22 = 0 EI
y2
ds ≈ EI +δ
∆s
yi 2 = 11.0240 EI = 30.4090 EI
0° 0.0000 6.6413° 0.1157 13.2825° 0.2298 19.9238° 0.3408 26.5651° 0.4472 32.2063° 0.5330 39.8476° 0.6407 46.4888° 0.7252 53.1301° 0.8000
积分 Mip0（1+y i） 系数 （q） 1/3 0.0000 1 -0.3557 4 -1.5952 2 -4.2046 4 -8.8952 2 -15.1146 4 -27.6656 2 -42.9820 4 -62.5432 1 -129.8276
例 2-1 拱形半衬砌结构算例 一、基本资料 隧道及衬砌结构断面如图所示，围岩类别为 V 类，仅有围岩垂直均不压 力作用于拱圈上。围岩弹性抗力系数 K=1.25 × 106 kN/m3 ，围岩容重 γ =26kN/m3。 拱圈用 C20 的混凝土， 弹性模量 E=2.6×107kPa,Rl=1.3×103kPa,混凝土 3 2 容重γ h=24 kN/m 。l0
截面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ψi 0° 6.6413° 13.2825° 19.9238° 26.5651° 32.2063° 39.8476° 46.4888° 53.1301° cos ψ i 1.0000 0.9933 0.9732 0.9401 0.8944 0.8461 0.7678 0.6885 0.6000 1-cos ψ i 0.0000 0.0067 0.0268 0.0599 0.1056 0.1539 0.2322 0.3115 0.4000 y i=R(1cos ψ i) 0.0000 0.0478 0.1906 0.4265 0.7522 1.0963 1.6548 2.2195 2.8500 y i² 0.0000 0.0023 0.0363 0.1819 0.5658 1.2019 2.7383 4.9260 8.1225 (1+y i)² 1.0000 1.0979 1.4175 2.0348 3.0702 4.3944 7.0478 10.3649 14.8225 积分系 数1/3 1 4 2 4 2 4 2 4 1
0° 0.0000 6.6413° 0.1157 13.2825° 0.2298 19.9238° 0.3408 26.5651° 0.4472 32.2063° 0.5330 39.8476° 0.6407 46.4888° 0.7252 53.1301° 0.8000 X 2cos ψ 截面 X 2y i(q) i(q) 0 0.0000 5.4626 1 0.2612 5.4259 2 1.0412 5.3165 3 2.3296 5.1356 4 4.1090 4.8859 5 5.9886 4.6221 6 9.0394 4.1939 7 12.1240 3.7610 8 15.5684 3.2776
九、截面强度验算 截面 0—0： N0 = 5.4626q = 296.4389(kN/m) 0.6965q e0 = = 0.1275m > 0.2d0 = 0.1m N0
故有：K= φ
1.75R l bd 0 N0
6e 0 −1 d0
=7.24>3.6(可)
地下建筑结构中，衬砌与围岩间满回填土时，一般取纵向弯曲系数φ = 1. 截面 5—5： N5 = 8.4195q = 456.9010(kN/m) 6.8432q e5 = = 0.01498m < 0.2d4 = 0.1m N0 故有：K= φ
p
0.04267
=
N0 q p cos φ n =0.7410EI Kd n 0 1
七、计算拱顶截面未知力 由相关公式计算得（以下各数均需乘以EI ）
0
a11 = δ11 + β 1 = 11.6856 a12 = a21 =δ12 + β 2 + fβ 1 = 20.9388 a22 =δ22 + μ 2 + 2fβ 2 + f 2 β 1 =52.5506 a10 = ∆1p +β a20 = ∆2p +fβ
7.1250q sin2 φ 载位移计算表
截 面 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ψi
i
sin ψ i sin² ψ i 0.0000 0.0134 0.0528 0.1161 0.2000 0.2841 0.4106 0.5260 0.6400
yi=R(1N 0(q) cos ψ i) ip 0.0000 0.0478 0.1906 0.4265 0.7522 1.0963 1.6548 2.2195 2.8500 0.0000 0.0953 0.3761 0.8274 1.4250 2.0239 2.9252 3.7476 4.5600 ∑