§1．1集合的含义与表示
李宁陕西师范大学附属中学 710061
【教材版本】北师大版
【教材分析】
1．知识内容与结构分析
集合论是现代数学的一个重要的基础．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础，集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用．课本从学生熟悉的集合（自然数集合、有理数的集合等）出发，结合实例给出了元素、集合的含义，学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力．2．知识学习意义分析
通过自主探究的学习过程，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．教学建议与学法指导
由于本节新概念、新符号较多，虽然内容较为浅显，但不应讲得过快，应在讲解概念的同时，让学生多阅读课本，互相交流，在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用．通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式，调动学生的积极性．
【学情分析】
在初中，学生学习过一些点的集合或轨迹，如：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆）；到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合（线段的垂直平分线）．这对学生学习本节课的知识有一定的帮助，只不过现在我们要把这个“集合”推广，它不仅仅是点的集合或图形的集合，而是“指定的某些对象的全体”．集合语言是现代数学的基本语言，使用这种语言，不仅有助于简洁、准确地表达数学内容，还可以用来刻画和解决生活中的许多问题．学习集合，可以发展同学们用数学语言进行交流的能力．
【教学目标】
1．知识与技能
（1）学生通过自主学习，初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，了解集合元素的确定性、互异性，无序性，知道常用数集及其记法；
（2）掌握集合的常用表示法——列举法和描述法．
2．过程与方法
通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择合适的语言（如自然语言、图形语言、集合语言）描述不同的具体问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．
3．情态与价值
在掌握基本概念的基础上，能够解决相关问题，获得数学学习的成就感，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识．
【重点难点】
1．教学重点：集合的基本概念与表示方法．
2．教学难点：选择合适的方法正确表示集合．
【教学环境】
◆多媒体教室
◆课件
【教学思路】
通过实例以及学生熟悉的数集，引入集合的概念，进而给出集合的表示方法，学生通过自我体会、自主学习、自我总结达到掌握本节课内容的目的．教学过程按照“提出问题——学生讨论——归纳总结——获得新知——自我检测”环节安排．
【教学过程】
一、导入新课
师：同学们，我们在初中时最开始接触到的有理数的分类大家应该还很熟悉．下面我们来看一个当时我们常见的很简单的题目：
问题1：将下列各数填入相应的图形中：
214737 4.2 3.56310.3334
-----，，，，，，，，，
正整数 负整数 正分数 负分数
生：
正整数 负整数 正分数 负分数
师：在上面的问题中，我们将给定的一些数按“正整数、负整数、正分数、负分数”分类，具有相同性质的数“集中”在了一起．
我再来说这样一句话：“今天下午所有的女同学留下来．”那么谁应该留下来应该很清楚了．刚才这两个问题是否让大家想起了一个熟悉的成语呢？
生：“物以类聚，人以群分”．
二、新知探究
（一）集合的含义
“物以类聚，人以群分”，应该指的是：把指定的所有的“物”聚在一起，或所有的“人”分在一起．在数学上，我们把它叫做“集合”．
1、集合——指定的某些对象的全体称为集合．集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…标记．
2、元素——集合中的每个对象叫做这个集合的元素．元素常用小写字母a ，b ，c ，d ，…标记．
例如：在问题1中，-3和-7组成了负整数的集合，可以记为A ，-3、-7都是它的元素；小于10的素数集合可以记为B ，它的元素为2、3、5、7．
3、元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了．
610， 37--， 234，3.5，3 174.2,3,34
--
若元素a 在集合A 中，就说元素a 属于集合A ，记作 a ∈A ；
若元素a 不在集合A 中，就说元素a 不属于集合A ，记作a ∉A ．
例如：在上述的素数问题中，2∈B ，6∉B ．
4、集合元素的特征
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性．
5、数的集合简称数集．下面是一些常用的数集及其记法：
自然数组成的集合简称自然数集，记作N ；
正整数组成的集合简称正整数集，记作N + ；
整数组成的集合简称整数集，记作Z ；
有理数组成的集合简称有理数集，记作Q ；
实数组成的集合简称实数集，记作R ．
例如：0∈N ，0．618∈Q ，R ∈3，R ∈π 等．
6、有限集、无限集、空集
有限集——含有限个元素的集合叫有限集．
无限集——含无限个元素的集合叫无限集．
空集——不含有任何元素的集合叫做空集．记作∅．
（二）集合的常用表示法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．
例如:①小于10的素数集合可以记为B ，用列举法可以表示为：B={}，
，，，7532； ②“中国的直辖市”构成的集合：{北京,天津,上海,重庆}；
③由“maths 中的字母” 构成的集合：{m,a,t,h,s}；
④从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；
⑤所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}．
注意：a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
例如：①大于3小于10的实数组成的集合：{}103<<∈x R x 或{}103<<x x ；
（注：若一个集合中的元素都是实数范围内的，可写成第二种形式）
②“平面直角坐标系中第二象限的点” 组成的集合{（x,y ）| x<0且y>0}；
③“方程x 2+5x-6=0的实数解” 组成的集合{x| x 2
+5x-6=0}；
④“中国的直辖市”构成的集合，写成{x x 为中国的直辖市}；
⑤“maths 中的字母” 构成的集合，写成{x x 为maths 中的字母}．
注：（1）有的集合可以用列举法表示，也可以用描述法表示。
有的集合则不是用两种均可表示的；（2）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。
如：{直角三角形}；{大于10的实数}． 三、例题讲解
例1 用列举法表示下列集合：
（1）由大于3小于10的整数组成的集合；
（2）方程092=-x 的解的集合．
解：（1）由大于3小于10的整数组成的集合用列举法可表示为：{}987654，，，，，；
（2）方程092=-x 的解的集合用列举法可表示为：{}33，-．
例2 用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有有理数组成的集合；
（2）所有偶数组成的集合；
（3）{}12108642，，，，，．
解：（1）小于10的所有有理数组成的集合用描述法可表示为：{}10<∈x Q x ；
（2）偶数是能被2整除的数，可以写成)(2Z n n x ∈=的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为：{}
Z n n x x ∈=,2； (3) {}12108642，，，，，这个集合用描述法可表示为：{}
+∈≤=N n n n x x ,6,2． 四、课堂练习
1、课本练P5练习．
2、用描述法表示集合：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧7564534231，，，，；（2）方程组11
x y x y +=⎧⎨
-=-⎩的解． 3、用描述法分别表示：
（1）抛物线y=x 2上的点；（2）抛物线y=x 2上点的横坐标；（3）抛物线y=x 2上点的纵坐标． 五、课时小结
1、集合的概念；
2、集合元素与集合间的关系，元素的三要素；
3、常用数集的记法；
4、集合的表示——列举法和描述法．
六、作业布置
1、 P6 A 组题：
2、
3、4
2、思考：P6 B 组题。