第二章波函数与Schrödinger 方程微观粒子具有波粒二象性，经典牛顿力学及波动理论不再适用，必须从全新的观点和理念来认识微观世界，建立新的理论（既容许波动性）也容许粒子性）。

内容概要：物质波概念1.1 物质波概念1.2 波函数及量子态叠加原理波动力学形式E.Schrödinger 1.3 Schrödinger方程 E. Schrödinger 1887—19611.1 物质波的提出11Planck，Einstein 光量子论：λ/E=hv=,hpBohr 量子论：1. 原子具有能量不连续的定态；1原子具有能量不连续的定态；2. 两个定态间量子跃迁及频率条件贡献：原子辐射能级和原子两个定态能级差联系起来，打开了人类认识原子结构的大门。

1922年,Bohr诺贝尔奖。

缺点：人为性太强，并未从根本上解决不连续本质。

人为性太强并未从根本上解决不连续本质。

1924年法国大学生1924年，法国大学生德布罗意在他向巴黎大学理学院提交的博士论文中建议，既然，知道光有波动和粒子双重性质，那么，物质粒子——特别是电子——或许也有波动和粒子双重性质。

这种建议是出于高度的推测，因为当时并没有任何实验证据。

德布罗意根据光子满足的方程用类比的方式提出物质粒德布罗意根据光子满足的方程，用类比的方式提出物质粒子也具有波粒二象性（物质波）, de Broglie 关系de Broglie把原子中的定态与驻波的频率及波长不连续性联系起来。

性联系起来意义：1. 物质存在的两种形式，光和实物粒子统一起来。

2. 更深刻地理解微观粒子能量不连续性，克服Bohr理论人为性质的缺陷。

Bohr理论人为性质的缺陷,自由粒子平面波对自由粒子，p, E为常数，对应物质波的波长和频率不变。

频率为，波长为，沿x方向传播的平面波为波传播方向n，则平面波为则平面波为记为复数形式=带入de Broglie 关系式，得到自由粒子平面波，也称德布罗意波。

de Broglie预言当电子通过一个小孔或者晶体的时候，会像光波样，产生衍射现象。

会像光波一样，产生衍射现象。

1927年戴维逊和革末首先完成了电子束被金属（镍单晶）散射的实验，在这个实验中他们观察到了与X光相似的衍射现象，从而直接证明了德布罗意的假设。

z θz 入射电子注因此，德布罗意获得了1929年度的诺贝尔物理学奖，成z 镍单晶为第一个以博士论文接受诺贝尔奖的人1928年以后，人们还摄得电子束通过薄云母片或金属多晶薄膜产生的衍射花样的照片，与X光通过这类物体产生的花样完全类似。

后来很多实验进一步证实，不仅是电子，而且质子、原子、分子都具有波动性。

这就清楚地表明，波动性是物质粒子普遍具有的。

电子束通过金属薄膜产生的衍射花样波粒二象性观点：波由粒子组成大量粒子在空间形成疏密波观点一：（水波，声波）7个电子100个电子单电子双缝干涉实验3000个电子70000个电子粒子波动性并不是大量粒子分布形成的！观点二：粒子由波组成包括薛定谔、德布罗意都曾认为，电子是三维空间中的物质波包，因而呈现出干涉、衍射等现象。

波包的大小物质波包因而呈现出干涉衍射等现象波包的大小就是粒子的大小，群速度就是粒子速度。

但仔细分析发现满足德布罗意关系的物质波包随时间但仔细分析发现，满足德布罗意关系的物质波包随时间必然要扩散。

或者更形象一点，随时间推移，粒子将越来越“胖”，与实验矛盾。

电子究竟是什么东西？电子既是粒子，也是波。

但不是经典的粒子，也不是经电子既是粒子也是波但不是经典的粒子也不是经典的波。

颗粒性（原子性），具有确定的质量，电荷，但并未观颗粒性（原子性）具有确定的质量电荷但并未观测到确定轨道。

电子所呈现出来的波动性，也只是波动性中最本质的东西相干叠加性并不是某种物理量的空间分布作周期西，相干叠加性，并不是某种物理量的空间分布作周期变化形成波动。

121.2 波函数及量子态叠加原理如何描写微观粒子的状态？经典力学给出(t)经典力学：给出x(t)。

x, v, 根据牛顿定律00x, p=m dx/dt。

量子力学中，上述方案不行：量子力学中上述方案不行1. 粒子的波动性不能反映。

2. 粒子轨道的概念不能使用（不确定性关系：位置、动量不可能同时具有确定值）概率波1926年，波恩（Born）提出概率波的概念，将粒子性和波动性统一起来。

微观粒子的波动性并不是某个物理量在空间和时间上的变化，它是描写粒子在空间分布的概率波。

r 点附近花样的强度正比于该点附近感光点的数目，∼正比于该点附近出现的电子数目，∼正比于电子出现在r点附近的几率。

亮条纹：粒子出现概率大的地方暗条纹：粒子出现概率小的地方波函数微观粒子的状态用波函数ψ表示微观粒子的状态用波函数ψ表示。

表示在r附近体积元中找到粒子的概率，为概率密度。

Born对波函数的概率诠释。

知道了微观粒子的波函数，就可以得到微观粒子出现在知道了微观粒子的波函数就可以得到微观粒子出现在空间某一点处的概率，以后我们会看到，利用波函数还可以得到体系的其他性质，因此波函数描写了微观体系的状态。

（量子力学的基本假设之一）的状态（量子力学的基本假设之）统计解释的重要含义——物理图像统解释的重含物像微观粒子仍然是一个一个呈颗粒状的，然而波函数并不能绝对准确地给出粒子什么粒子到达哪点，而只能给能绝对准确地给出粒子什么粒子到达哪一点而只能给出它到达地点的一个统计分布。

粒子的运动受到ψ的向导，它往往出现在|ψ |2大的地方，而不会出现在|ψ |=0的地方。

Ψ又是按照波的方式在时空中变化传ψ|2=0的地方播的，因此微观粒子又表现出波动性。

因此，统计解释反应了微观粒子的波粒二象性。

在经典力学系统中，用一组力学量可以对该系统做出完全决定性的描述，可以准确地预言它在任何时刻的位形和动力学行为。

量子力学中，一般地讲，当粒子处在某一状态时，它的力学量一般有很多可能值，这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率值由波函数确定。

这就是说，对微观粒子的描写是统计性的，从决定性的规律到统计性的规律，是一个很大的改变，体现了微观系统和经典系统之间原则性的差别。

在量子力学中，力学量的可能取值的概率分布都可通过波函数决定，因此，微观粒子的运动状态完全由波函数波函数决定因此微观粒子的运动状态完全由波函数来决定，ψ代表微观粒子的态，不同的ψ给出不同的统计分布，表示不同的态，ψ随时间的变化就表示态的变化，也就是表达了运动过程。

归纳起来可以表示为量子力学也就是表达了运动过程归纳起来可以表示为量子力学的一个基本原理，微观粒子的运动状态称为量子态，对这种态的描写是统计性的，波函数是量子态的数学表示，也成为态函数。

波函数的性质1.物理上只要求在有限空间中找到粒子的概率单值、有限。

除个别奇点外，单值有界。

在奇点处，限除个别奇点外单值有界在奇点处，但要求有，为包围奇点的有限体积22. 常数因子不确定性与描写的是同样的概率分布。

3. 相角不确定性4. 可归一性。

许多物理态，粒子总要在全空间中出现，是必然事件，是可归一化的。

A为是常数。

就是归一化的波函数。

和δ（r）是不可归一化的。

波函数仍有一不确定的相因子, 取C为实数.例2. 设粒子波函数为，求在(x, x+dx)中找到粒子的几率。

例3. 设用球坐标表示，粒子波函数表示为,求例3.设用球坐标表示，粒子波函数表示为(a) 粒子在球壳(r, r+dr)中被测到的概率；(b) 在方向的立体元找到粒子的概率。

(b)在,多粒子体系的波函数2态叠加原理如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加Ψ= cΨ+cΨ1122也是体系的一个可能状态。

一般情况,体系的态可以是许多态的线性叠加,1122......n n n nc c c c Ψ=Ψ+Ψ+Ψ+=Ψ∑c 1,c2,…cn为复数.n量子力学的态的叠加原理也可表述为：若波函数Ψ1，Ψ2，···ΨN是描述微观体系的可能状态，则由它们线性叠加所得出的波函数Ψ=c1Ψ1+ c2Ψ2+···+c NΨN,c,···也是体系的一个可能状态，其中c1, c2, c N为一组任意有限复常数；当体系处在Ψ态时，出现Ψj概率为。

何谓出现Ψj的概率？设Ψ1，Ψ2，···ΨN恰是表示某一力学量A取确定值A1，A 2，···AN的态，则在Ψ态下测量力学量A，其值只能是A 1，或者A2，······或者AN中的某一个，且力学量A值为A 1，A2，···AN的几率分别为|c1|2,|c2|2, ···|cN|2，这里已假设Ψ已归一化了，即在态的叠加原理中出现的叠加，是波函数的叠加而不是几率的叠加因它必须出现涉衍射等现象仍以缝涉为例设加。

因而它必须出现干涉、衍射等现象。

仍以双缝干涉为例。

设通过第一缝的波函数为Ψ1，第二缝的波函数为Ψ2，同时开启两个缝后的波函数是Ψ1 和Ψ2的线性叠加：Ψ＝c 1Ψ1+c 2Ψ2。

2=2|c 2**c *|ψ| |c 1Ψ1|+ 2Ψ2|+ c 1c 2ψ1ψ2+ 1c 2ψ1ψ2干涉项在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之间的干涉。

动状态的几率波自身的干涉而不是不同粒子之间的干涉现以一束偏振光通过检偏片为例对比加以说明。

设光的偏振方向与晶轴的夹角为α，根据光学中的马吕斯定律，若入射光的强度为I0，则则通过检偏片后的光强为I0cos2α。

则则通过检偏片后的光强为这表明，若光的偏振方向与晶轴平行，α＝0时，光全部通过检偏片；若相互垂直，α＝π/2时，光全部被吸收；当两者之间的夹角为α时，原入射光强的cos2α通过检偏时原入射光强的片，它的sin2α被吸收。

现减弱入射光束的强度，使之只让一个光子入射，则当α＝0时，光子通过，且光子的能量和偏振方向在通0时光子通过且光子的能量和偏振方向在通过检偏片后不变。

当α＝π/2时，光子被吸收。

当夹角为α时，在通过检偏片后，既有可能观测到光子，也有可能观测不到光子观测到光子的几率是观测不到观测不到光子。

观测到光子的几率是cos2α，观测不到光子的几率是sin2α 。

当然，观测到的光子总是一个整个光子，而不是半个或者分数个光子。

动量波函数和动量分布几率以一个确定的动量运动的状态用如下波函数描写按态叠加原理，ψ(r, t)可以表示为不同动量的平面波的叠加，通过傅里叶变换，与ψ(r, t) 完全等价，描述同一个量子态。

波函数ψ(r, t)的含义：以坐标r 为自变量的波函数，称波函数ψ(t)的含义r为自变量的波函数，称为坐标空间波函数，或坐标表象波函数。