二维稳态导热在一定边界条件下解析法求解
一、问题描述
二维有限铁板，长1.5m,宽40cm, 短边两端绝热，长边两端表面与空气接触，上下表面处空气温度分别为100℃和20℃，求稳态导热后，板内温度分布。

二、解析法求解
解：
如图建立平面直角坐标系:
所给问题及边界条件的数学描述为：
2222
0t t
x y ∂∂+=∂∂
0x =0t x ∂=∂ x H =0t x ∂=∂
0y =1()f t
h t t y λ
∂=-∂ y δ=2()f t
h t t y λ
∂-=-∂
假设该函数可用分离变量法求解，则
()()t X x Y y =
2222
11d X d Y
X dx Y dy λ
=-=-
则有
()22
()0X
X x x
λ∂+=*∂ ()22()0Y
Y y y
λ∂-=**∂
下面对λ取值正负分类讨论：
（1）λ<0时
()X x Be =+
代入X 方向边界条件易得：
0A B ==
即
λ<0时，()*只有零解；
（2）λ>0时
(
)X x A B =+
由x
方向边界条件解得：0,n B H
π==
则方程固有值和固有解为
()2
,cos ,1,2n n n n n X x A x n H H ππλ⎛⎫
===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
将n λ代入()**得
(),1,2n n y y H
H
n n n Y y C e
D e
n π
π-
=+=⋅⋅⋅
叠加后得方程通解为
1(,)cos n n y y H H n n n n t x y a e b e x H πππ
+∞
-=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑
其中,n n n n n n a A C b A D ==； 对于任一确定[]0,x H ∈ 由y 方向边界条件代入得：
1000011cos cos n n n n H H H H
n n n n
f n n n n n n x a e b e h a e b e x ht H H H H ππππππππλ+∞+∞⋅-⋅⋅-⋅==⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 211cos cos n n n n H H H H n n n n f n n n n n n x a e b e h a e b e x ht H H H H ππππδδδδππππλ+∞+∞⋅-⋅⋅-⋅==⎛⎫⎛⎫-⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑
整理得：
12
11cos 11cos f n n n n f H H t n n n x a h H h H H b t n n e e n h H h H x H ππδδλπλππλπλππ⋅-⋅⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⋅--⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-⋅
+⋅- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
系数行列式
1
1011n n H
H
n n h H h H n n e
e h H h H π
πδδλπ
λπλπλπ⋅-⋅⎛⎫⋅--⋅+ ⎪⎝⎭
≠⎛⎫
⎛⎫
-⋅
+⋅
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且有()()r A
r A = ， 故方程有唯一非零解
由Cramer's Rule ：
122
2
2
2
11lim 11cos cos 1lim
1cos 0
n n H
H
n n n f f H n H
n f n n e e h H h H a t t n n e n n h H h H x x
H H
n e h H t n h H x
H
π
π
δδπδπδλπλπλπλπππλπλππ-⋅⋅→∞-⋅⋅→∞⎛⎫⎛⎫⋅--⋅
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫
-⋅--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⋅+ ⎪
⎝⎭=⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=
同理，0n b =
即λ>0时，()*只有零解，这与前面判断结果方程有唯一非零相矛盾，所以λ>0的情况不存在
（3）λ=0时，有22
0d X
dx
= 通解为
()12X x C x C =+
代入 X 方向边界条件得()2X x C =，即
()2()()()`()t X x Y y C Y y Y y Y y ===，（不妨仍记作） 所以最终结果可以认为与x 方向无关；
同时22
0d Y
dy
=
通解为()12Y y C y C =+ 代入y 方向边界条件得
()1
12f C h C t λ=-
()
2112f C h C C t λδ-=+-
解得：
(
)21
12f f h t t C h δλλ-=
⎛⎫+
⎪⎝
⎭
()
21
121
2f f f
C
t
t t h δλ
=
-++
其中，毕沃数h Bi δ
λ
=
即λ=0时，方程的通解为
()()(
)()
[][]()21
21
11
,,0,,0,22f f f f f h t t t x y t y y t t t x H y h h δδδλλ
λ-==
+
-+∈∈⎛
⎫+
+ ⎪
⎝
⎭ 代入实际情况，取1
2
100,
81.1, 1.5,0.4,20,100f f h H t t λδ======得
[][]()39.5652.087,
0,1.5,0,0.4t y x y =+∈∈
即为所求问题的解
三、分析讨论
1.结果分析
下图左为数值法求解所得结果，右为解析法求解所得图像
从图像上可以看出，数值解与解析解所得温度分布趋势一直，Z坐标（温度分布）区间一致，说明解法正确。

从结果图像上看，温度主要分布在50-70°之间，说明对流热阻占到了很大比重。

2.解法分析
该问题的物理模型为二维稳态导热的定解问题，数学模型为二维拉普拉斯方程的定解问题，边界条件X方向为两个第二类齐次边界条件，Y方向为两个第三类非齐次边界条件。

解法为分离参数法，并且对特征值λ进行了分类讨论。

由实际情况可以预测，该问题有唯一确定解，稳态状态为静态稳态，所以在λ的三种情况的讨论中，必然有两种情况会被否定。

本λ≠时，方程均为零解。

题中，0
本题的特殊之处在于最后由于λ只能取零，情况特殊，所以最终数学模型转化为两个独立的二阶齐次线性微分方程的求解，物理模型也演变为一维稳态导热，使问题求解大大简化！
一般地，如果X方向边界并非绝热，如四边均为第三类非齐次边界条件，则可利用叠加原理对其进行简化和叠加。

可以将问题分解为四个简单情况的叠加，每一个只有一条边为原边界条件，另外三边绝热，最后再将结果叠加。

该方法的理论基础为线性微分方程解的叠加原理。

需要注意的是，在进行问题分解和简化的时候，只能将边界条件转化为特殊情况的同一类边界条件，即只能转化为绝热（第三类边界条件极限情况），而不能简化为边界温度为零（第一类边界条件）。

3.进一步讨论
本题的解析法求解过程中，依然存在一些问题和值得思考的空间：
（1）在λ>0讨论中得到的矩阵方程，其结果的判断，需要对系数行列式，系数矩阵的秩以及其增广矩阵的秩进行进行判断。

在应用克莱姆法则求解时，也要对最后的结果处理。

作者只是简单利用L 'Hopital's Rule对分子分母的无穷小的阶数进行初步分析，并略去一些为零项。

更严密的做法应该是利用级数的收敛来判断，来给出n→∞时的极限情况。

在这里还有进一步完善的空间。

（2）本题的关键在于最终确定特征值只能为零，从而将问题从本质上简化，将拉普拉斯方程两个方向上的方程化为两个独立的方程，将二维稳态导热变为一维稳态导热。

那么是否二者之间是等价关系，还需要进一步考虑，即特征值为零对应的物理意义是什么，或者说物理模型能否转化，某些假设（如x方向无传热）是否成立，是否可以通过某些特定数学条件初步判断，还有进一步思考的空间。

参考文献:
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