第二章热传导概论
【2.1】试分析通过下面轴对称图形(见简图)的一维稳态热传导。
假定此几何体具有常物性，无内热生成。试在T—x坐标系上面画出温度分布图，并扼要解释一下曲线形状。
解
简图：见图2—1 a。
图2-1
假设：
(1)一维稳态热传导；
(2)常物性；
(3)无内热生成。
分析：列出物体的能量平衡方程，根据方程式(1.10)有
k随x增大而减小，所以 随x增大而增大；
k=k0，所以 =常数;
k随x增大而增大，所以 随x增大而减小。
【2.18】核反应堆燃料棒的直径为50mm，它以 W/m3，的速率均匀地生成内热。其稳态状况下的温度分布遵循下式：
式中T的单位是℃，r的单位是m，a=800℃，b=-4.167x105℃。燃料棒的物性参数k=30W/(m·K)、 =1100kg/m3、 =800J/(kg·K)。
(3)无内热生成。
分析：根据方程式(2.2)和k(T)的表达式，
(1)
关于温度分布曲线的形状，可根据d2T/dx2=d（Dt/dx）/dx导出。对于给定状况， 与x无关。所以
或
因此
式中 ，
所以，对 ，T（x）Байду номын сангаас率为负
，T（x）曲率为负
，T（x）曲率为负
三条温度分布曲线见图2-6。
说明：温度分布曲线也可以根据方程式(1)求出，由于温度T沿x正向下降，所以，
a)在r=0(中心线)和r=25mm(表面)处，单位长度燃料棒的传热速率多大？
b)如果反应堆的功率水平突然提高到 ，在r=0和r=25mm处的起始温度变化速率多大？
解
简图：见图2-18。
图2-18
假设，
（1）沿r方向的一维热传导；
（2）均匀的生成热；
(3)稳态状况下的热生成速率 W/m3。
分析：
（1）根据方程式（2.4）
a）在无风和刮风天气，皮肤单位面积上的热损失之比是多少？
b)在无风和刮风天气，皮肤外表面的温度各是多少?
c)若使无风天的热损失与-15℃的刮风天气时一样，间气温应是多高?
解
简图，见图3-6a
图3-6
假设，
(1)把这种传热过程看做是通过平璧的一维热传导；
(2)具有常物性的均匀介质；
所以
或
式中的 可根据已知温度分布T（r）求出。
在r=0处， =0。所以
在 处，
因此
（2）当热生成速率变化时，必然存在随时间而改变的瞬态状况。并且，根据上述假设，可利用热流方程（2.18）的下述形式求出温度：
因此
因而可知起始时间（t=0）的温度分布由上述方程式给出，并且
（开始时 ）
所以，在壁面内每一处都有
或
及
即，物体内的热流处处相等。根据傅里叶定律(方程式2.1)
又因为 和 均为常数，所以
常数
这个式子表明，横截面面积与温度梯度的乘积等于常数，并且与x的距离无关。其结果是，由于A随x增大而增大，因而dT/dx必然随x增大而下降，所以温度分布曲线的形状如图2—1b示。
说明：
(1)必须认识到dT/dx为温度曲线的斜率？
(2)当T2>T1时，温度分布情况怎样?
(3)在上面的坐标系中表示出热流密度q"，如何随距离而变化。
【2.2】一外半轻为r1的热水管的温度为T1，采用一个厚绝热层以降低管子的热损失。绝热层的外半径为r2，温度为T2。试以T—r为坐标系，画出热水管的一维稳态热传导的温度分布图，并扼要地说明所画曲线的形状为什么是证确的。
解
简图：:见图2—2a
图2-2
假设：
(1)稳态状况)；
(2)一维径向热传导；
（3）无内热生成；
(4)绝热层的物性均匀，且与温度、位置均无关。
分析:对这个一维(圆柱)径向系统，傅里叶定律具有如下形式；
式甲 ， 为管子绝热层系统的轴向长度。需要注意。对无内热生成的稳态状况，关于系统的能量平衡要求为
qr=常数
(2) 是如何随半径而变化的？
【2.6】现在研究固体导热系数对温度分布的依赖关系。试考虑一种材料，其导热系数与温度的关系式为：
式中： 是一正值常数； 为一可能为正、也可能为负值的系数。试画出对应于a>0,a=0,a<0三种情况下，一平面处于稳态传热状况时的温度分布曲线。
解
假设：
(1)一维热传导；
(2)稳态状况；
说明：
（1）除t=0之外， 的值将随时间的延伸而下降，直至达到新的平衡状态时， 立即重新变为零；
（2）对处于稳态状况的燃料棒应用能量守恒方程式（1.10），即 。则有
第三章一维稳态热传导
【3.6】在寒冷的季节刮风时，人们会感到寒风刺骨，裸露的人体皮肤向周围大气的散热量会增加。设人体脂肪层组织的厚度L为3mm、其内表面温度Ts，保持为36℃。在无风时，其外表面的对流换热系数为25W/(m2·K)；当风速为30m/h时，换热系数达65W/(m2·K)。在这两种气候下，环境气温T∞都是-15℃。
【2.3】球形薄壳的内半径为r1、外半径为r2；内、外璧的表面温度分别为T1和T2，且 。假定壳内是进行一维、稳态、常物性的热传导。试在T—r坐标系上画出温度分布图，并扼要说明所画曲线是正确的。
解
简图，如图2-3a。
图2-3
假设：
(1)稳态状况；
(2)半径方向(球坐标)上的一维热传导；
(3)常物性。
第一章绪论
【1.3】已知穿过木板的热流密度q〞是40W/m2，该木板厚L为50mm，内、外表面温度分别为T1=40℃和T2=20℃，求木头的导热系数k。
解：
简图：
假设：
（1）一维热传导；
（2）稳态状态；
（3）常物性。
分析：根据上述假设，可用方程式（1、2）求出导热系数。整理后得：
说明：求温差时，温度单位℃或K均可以使用。
即qr与半径(r)无关。又因为导热系数也是常数，所以有
=常数
这个关系式要求，径向温度梯度dT/dr和半径r的乘积在整个绝热层内保持为常数。对于我们所研究的情况，温度曲线必然是如圈2-2b所示形状。
说明，
(1)试考虑一下，当qr为常数且与r无关时， 是常数吗？ (r)如何随r变化?
(2)需注意，对于我们所研究的状况，径向温度梯度dT/dr随半径增大而降低。
分析：对于这个一维径向系统来说(采用球坐标)，傅里叶定律(方程式2.1)的形式如下，
式中 为球壳的表面积(如图2-3b)。在稳态状况下，根据系统的能量平衡要求有
这个关系式要求，在整个薄壳内的径向温度梯度dT/dr与半径平方r2的乘积为常数。因而温度分布为如图2-3c所示。
说明：
(1)要注意到，在上述状况下 ，即 处处相等；