（接受服务）
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二、排队系统的组成和特征
1、输入过程
输入即指顾客到达排队系统，可能有以下不同情况。
（1）顾客源的组成
有限的 无限的
（2）顾客到来的方式
一个一个的 成批的
（3）顾客相继到达的间隔时间
确定型的 随机型的
（4）顾客的到来
相互独立的 关联的
（5）输入过程
平稳的，或称对时间是齐次的 非平稳的
6
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9、其他常用数量指标
s —— 系统中并联服务台的数目；
—— 平均到达率；
1/
—— 平均到达间隔。
—— 平均服务率；
1/ —— 平均服务时间。
—— 服务强度，
每个服务台单位时间内的平均服务时间；
一般有 s ；当s=1时：
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对于损失制和混合制的排队系统，顾客在到达服务系统时， 若系统容量已满，则自行消失。这就是说，到达的顾客不 一定全部进入系统，为此引入：
例如：某排队问题为
M / M / s / ∞ / ∞ /FCFS
则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)；服务时 间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统等待空间容量无 限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。 可简记为： M / M / s
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四、排队系统的参数(分析结果)
1、队长（Ls） 指在系统中的顾客数,期望值 2、排队长（Lq） 指系统中排队等候服务的顾客数
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5、忙期 指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空 闲止 这段时间长度，即服务机构连续繁忙的时间长度。 6、系统的状态n：指系统中的顾客数。 7、系统状态的概率Pn(t)：指时刻t、系统状态为n的概率。 一般为关于t的微分方程、关于n的差分方程。 8、稳定状态：t→时，t=0时的系统不稳定状态将消失， 系统的状态概率分布不再随时间变化，即 limPn(t)→Pn。
2 2 7 4 3 6 19 4 3 5 10 38 2 7 0
3 6 1 5 6 7 22 3 4 6 11 45 5 2 0
Ls=Lq+正被服务的顾客数 3、逗留时间（Ws） 指一个顾客在系统中的停留时间 4、等待时间（Wq） 指一个顾客在系统中排队等待的时间
Ws=Wq+服务时间
这四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说明系 统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它 们是顾客与服务系统的管理者都很关注的。
第十二章 排队论(Queuing Theory)
1 排队论的基本概念 2 到达间隔的分布和服务时
间的分布 3 排队系统的分析
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排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤现象 (排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各种排队 系统概率规律性的基础上，解决相应排队系统的最优 设计和最优控制问题。
单队—单服务台
单队—多服务台（并列）
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多队—多服务台（并列） 多服务台（串列）
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多服务台混合
1
1
2
3
2
（3）服务方式
对单个顾客进行 对成批顾客进行
（4）服务时间
确定型 随机型
（5）服务时间的分布我们总假定是平稳的，即 分布的期望值、方差等参数都不受时间的影响
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三、排队模型的分类(条件参数)
一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式为： [X/Y/Z] /[A/B/C]
2、排队规则 顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。
（1）顾客到达时，所有服务台被占用 随即离去的 称为即时制（损失制） 先到先服务 排队等候称为等待制 后到先服务 随机服务 有优先权
有限的 （2）从队列占用空间 无限的
（3）从队列的数量
单列 多列
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3、服务机构 没有
（1）服务员数量 一个或多个 （2）多服务台时
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔朗(A.K．Erlang)在研 究电话系统时创立的，几十年来排队论的应用领域越 来越广泛，理论也日渐完善。特别是自二十世纪60年 代以来，由于计算机的飞速发展，更为排队论的应用 开拓了宽阔的前景。
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第一节 基本概念
一、排队系统的一般表示
例1、各个顾客由顾客源出发，到达服务机构前排队等候 服务，服务完了后就离开。
学生去食堂就餐等就常常出现排队和等待现象。
排队的不一定是人，也可以是物：
通讯卫星与地面若干待传递的信息；
生产线上的原料、半成品等待加工；
因故障停止运转的机器等待工人修理；
码头的船只等待装卸货物；
要降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等等。
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顾客到达
一般排队的过程
队列 （排队规则）
服务台
顾客离去
e —— 有效平均到达率, 即每单位时间实际进入系统的平 均顾客数（期望值），不同于. 对于等待制的排队系统， e ＝
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第二节 到达间隔的分布和服务时间的分布
一、经验分布
例2 某服务机构单服务台，先到先服务，对41顾客记录到达 时刻和服务时间s（单位：分钟）如下表，表中第1号顾客到 达时刻为0。全部服务时间为127（分钟）。 (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) (1) (2) (3) (4) (5) i τi si ti wi i τi si ti wi i τi si ti wi 1 0 5 2 0 5 12 2 7 10 9 36 1 2 0
顾客到来
顾客源
排队结构
服务规则
服 务 机
排队规则
构排队Βιβλιοθήκη 统离去排队结构指队列的数目和排列方式 排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样 的规则、次序接受服务的。
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排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象:
上、下班搭乘公共汽车；
顾客到商店购买物品；
病员到医院看病；
旅客到售票处购买车票；
其中 X –– 顾客到达的概率分布，可取M、D、Ek等； Y –– 服务时间的概率分布，可取M、D、Ek等； Z –– 服务台个数，取正整数； A –– 排队系统的最大容量，可取正整数或； B –– 顾客源的最大容量，可取正整数或； C –– 排队规则，可取FCFS、LCFS等。
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表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布的符号: M—负指数分布 D —确定型 Ek—k阶爱尔朗分布 GI— 一般相互独立的时间间隔的分布 G— 一般服务时间的分布