MINITAB统计基础1.正态总体的抽样分布1)样本均值的分布——标准正态分布及T分布样本标准差计算公式：◆T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且它们相互独立，那么随机量所服从的分布称为个自由度的t分布。
其分布密度函数为：当时的极限分布即是标准正态分布，当时就是Cauchy分布。
T分布只包含1个参数。
数学期望和方差分别为0，（时期望不存在，方差不存在）。
我们常常用表示υ个自由度的t分布。
MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。
在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。
自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。
范例：✧Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。
计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定概率密度函数正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1x f( x )1.980.0561831✧。
计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定累积分布函数正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1x P( X <= x )2.4 0.991802✧Z~N(0，1)，求使得P(Z<x)=0.95成立的x值，即Z的0.95分位数。
计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定逆累积分布函数正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1P( X <= x ) x0.95 1.64485✧自由度=12，求使得。
计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定逆累积分布函数学生 t 分布，12 自由度P( X <= x ) x0.95 1.7822✧自由度=12，求使得。
计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定累积分布函数学生 t 分布，12 自由度x P( X <= x )3 0.9944672)双样本均值差的分布3)正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布若X1，X2，……,Xn是从正态总体中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记已知时：当未知时，用替后可以得到其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。
◆卡方分布的定义：把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。
它的密度表达式为：参数称为自由度。
卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（越小，分布越偏斜）。
我们常用表达自由度为的卡方分布。
卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。
◆卡方分布的性质a)卡方分布的加法性：设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。
若令Z=X+Y，则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。
b)若X，则，。
计算下列各卡方分布的相关数值：✧自由度=10，求使得成立的x 值。
计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 逆累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=0.95 -----> 确定逆累积分布函数卡方分布，10 自由度P( X <= x ) x0.95 18.307✧自由度=10，求。
计算-----> 概率分布-----> 卡方分布-----> 累积概率-----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定累积分布函数卡方分布，10 自由度x P( X <= x )28 0.9981954)两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。
设有两个独立的正态总体() 和() ，它们的方差相等。
又设X1，X2，…，X n是来自()的一个样本Y1，Y2，…，Y n是来自() 的一个样本，这两样相互独立。
它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。
实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果，，且二者相互独立，则称二者比值的分布为F分布，即其密度函数是：F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。
✧计算F0.95（8，,18）的数值。
计算-----> 概率分布-----> F分布-----> 逆累积概率-----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->常数=0.95 ----->确定逆累积分布函数F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度P( X <= x ) x0.95 2.510162.参数的点估计1)点估计的概念用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。
设Ɵ是总体的一个未知参数，X1，X2，…，X n是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估计未知参数Ɵ的统计量（X1，X2，…X n）称为Ɵ的估计量，或称为Ɵ的点估计。
我们总是在参数上方画一个帽子“∧”表示该参数的估计量。
在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：➢对于总体均值，；➢对于总体方差，；➢对于比率p ，，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数；➢对于 1 - 2 ，=（两个独立随机样本均值之差）；➢对于p1 - p2，估计为（两个独立随机样本比率之差）；2)点估计的评选标准3.参数的区间估计设Ɵ是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X1，X2，…，X n，对给定的显著性水平α（0﹤α﹤1），有统计量：ƟL= ƟL（X1，X2，…，X n）与ƟU= ƟU（X1，X2，…，X n），若对于任意Ɵ有P（ƟL≤Ɵ≤ƟU）= 1 - α，则称随机区间[ƟL，ƟU]是Ɵ的置信水平为1-α的置信区间，ƟL与ƟU分别称为置信下限和置信上限。
置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - α是区间估计的可靠程度，而α表达了区间估计的不可靠程度。
在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。
对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。
实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。
这两者要结合在一起考虑，才更为实际。
通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。
1)单正态总体均值的置信区间当时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：a)当总体方差已知时，正态总体均值的1 –α置信区间为：式中，是标准正态分布的分位数，也就是双侧α分位数。
例如α=0.05时，。
在MINITAB中，我们通过：统计-----> 基本统计量-----> 单样本Z来实现的。
由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。
b)当总体方差未知时，用样本标准差S代替，此时正态总体均值的1 –α置信区间为：式中，表示自由度为n – 1的t 分布的分位数，也就是t分布的双侧α分位数。
例如α=0.05时，样本量n = 16时，，其值略大于。
在MINITAB中，我们通过：统计-----> 基本统计量-----> 单样本t 来实现的。
✧某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据：1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 18521861 1778 1747 1678 1754 1799 1697 1664 1804 1707假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用均值的95%置信区间。
统计-----> 基本统计量-----> 单样本t -----> 样本所在列= 运输费用-----> 选项-----> 置信水平=95 -----> 确定。
单样本 T: 运输费用均值标变量 N 均值标准差准误 95% 置信区间运输费用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)c)前两种情况讨论的是当总体为正态分布时，的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量n 超过30，则可根据中心极限定理知道：仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均值的区间估计方法，而且可以直接用样本标准差代替总体标准差，即采用公式：在MINITAB中，通常直接采用：统计-----> 基本统计量-----> 图形化汇总中得到总体均值的置信区间结果。
只不过要注意的是：总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。
2)单正态总体方差和标准差的置信区间当时，正态总体方差的置信区间是：式中，和分别是分位数与分位数。
当时，正态总体标准差的置信区间是：✧1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 18521861 1778 1747 1678 1754 1799 1697 1664 1804 1707统计-----> 基本统计量-----> 单方差-----> 样本所在列= 运输费用-----> 选项-----> 置信水平=95 -----> 确定。
单方差检验和置信区间: 运输费用方法卡方方法仅适用于正态分布。
Bonett 方法适用于任何连续分布。
统计量变量 N 标准差方差运输费用 20 61.9 383095% 置信区间标准差置信方差置信区变量方法区间间运输费用卡方 (47.1, 90.4) (2215, 8170)Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)求总体标准差置信区间另一种方法：统计----->基本统计量----->图形化汇总----->变量：运输费用----->置信水平：95 ----->确定3)单总体比率的置信区间当时，也就是X取“非0则1”的0-1分布，我们常需要估计总体中感觉的那类比率的置信区间，比如，一批产品中，不合格品率的大致范围；顾客满意度调查中，有抱怨顾客的比率范围等。