2.1函数及其表示考情分析1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．基础知识1．函数的基本概念1.符号:f A B→表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点：(1)对应法则有方向性, :f A B→与:f B A→不同;(2)集合A中任何一个元素,在f下在集合B中都有唯一的元素与对应;(3)象不一定有原象,象集C与B间关系是C B⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数[(()]f g x的表达式，求()f x可用换元法；（3）配凑法与方程组法.注意事项1.求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．2.。

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．3.。

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.典型例题题型一求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝|x－2|－1log2x－1；(2)f (x )＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4. 解 (1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－1，x ＋4x －1<0，解得：－1<x <1.因此f (x )的定义域为(－1,1)．【变式1】下列函数中,与函数1y x =有相同定义域的是( )A.2()log f x x =B.1()f x x =C.()||f x x =D.()2x f x =【答案】A【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞，与原题相同；而选项B 中的x 可以为负数，选项C 、D 的定义域都为R ，故选A.题型二 求函数的解析式【例2】(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．【变式2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x)＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12. 因此f (x )＝12x 2＋12x . (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 得f (x )＝4＋x －2x 23x. 题型三 分段函数 【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)解析 f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D.答案 D【变式3】已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 分类讨论：(1)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32， 不符合题意，舍去．(2)当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综合(1)，(2)知a 的值为－34. 答案 －34重难点突破【例1】► 求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间． 错解 忽视函数的定义域，把函数y ＝log 13t 的定义域误认为R 导致出错． 实录 设t ＝x 2－3x .∵函数t 的对称轴为直线x ＝32， 故t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增． ∴函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 正解 设t ＝x 2－3x ，由t ＞0，得x ＜0或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32， 故t 在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【例2】 求函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)的单调区间．[尝试解答] 由x 2－2x －3＞0，得x ＜－1或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，则其对称轴为x ＝1，故t 在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y ＝log 2t 为单调增函数．故函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)． 巩固提高1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 解析 ∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0.答案 A2．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析 由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1， 解得－12＜x ＜0. 答案 A3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝ 1＋u 1－u，g (v )＝ 1＋v 1－v D ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2答案 C4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )．A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.故选B.答案 B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]。